《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练2 (2023·郑州质检)在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{2}=3$，$a_{3}=7$，且数列$\{a_{n + 1}-a_{n}\}$为等比数列.
(1)求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
(2)令$b_{n}=(2n - 1)a_{n}$，求$\{b_{n}\}$的前n项和$S_{n}$.

答案： 解　
(1)因为$a_{1}=1$，$a_{2}=3$，$a_{3}=7$， 　所以$a_{2}-a_{1}=2$，$a_{3}-a_{2}=4$， 　因为数列$\{a_{n + 1}-a_{n}\}$为等比数列，$\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2}-a_{1}}=2$， 　所以该等比数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以$a_{n + 1}-a_{n}=2^{n}$， 　所以当$n\geqslant2$时，$a_{n}=(a_{n}-a_{n - 1})+(a_{n - 1}-a_{n - 2})+\cdots+(a_{2}-a_{1})+a_{1}$ 　$=2^{n - 1}+2^{n - 2}+\cdots+2^{1}+1$ 　$=2^{n}-1$， 　当$n = 1$时上式也成立. 　所以$a_{n}=2^{n}-1$. 　
(2)因为$a_{n}=2^{n}-1$， 　所以$b_{n}=(2n - 1)a_{n}=(2n - 1)2^{n}-(2n - 1)$， 　记数列$\{(2n - 1)2^{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，则$T_{n}=1×2+3×2^{2}+5×2^{3}+\cdots+(2n - 3)·2^{n - 1}+(2n - 1)·2^{n}$， 　$2T_{n}=1×2^{2}+3×2^{3}+5×2^{4}+\cdots+(2n - 3)·2^{n}+(2n - 1)·2^{n + 1}$， 　两式相减得$-T_{n}=1×2^{1}+2×(2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n})-(2n - 1)·2^{n + 1}=2+2×\frac{2^{2}(1 - 2^{n - 1})}{1 - 2}-(2n - 1)·2^{n + 1}=(3 - 2n)·2^{n + 1}-6$， 　所以$S_{n}=T_{n}-[1 + 3 + 5+\cdots+(2n - 1)]=T_{n}-\frac{n(1 + 2n - 1)}{2}=T_{n}-n^{2}$ 　$=(2n - 3)·2^{n + 1}-n^{2}+6$.