《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例2（2023·安庆模拟）已知函数$f(x)=a\ln x+bx^{2}e^{1 - x},a,b\in\mathbf{R}.\text{e}=2.71828\cdots$.
(1)若曲线$y = f(x)$在点$(2,f(2))$处的切线方程是$y = x+\ln 2$，求$a$和$b$的值；
(2)若$a = \text{e}$，讨论导函数$f'(x)$的零点个数.

答案： 解　
(1)由题意得， $f(2)=a\ln 2 + 4be^{-1}$， 因为$f'(x)=\frac{a}{x}+bx(2 - x)e^{1 - x}$，所以$f'(2)=\frac{a}{2}$， 因为曲线$y = f(x)$在点$(2,f(2))$处的切线方程是$y = x+\ln 2$， 所以$f'(2)=1$，$f(2)=2+\ln 2$， 即$\begin{cases}\frac{a}{2}=1\\a\ln 2+\frac{4b}{e}=2+\ln 2\end{cases}$， 解得$\begin{cases}a = 2\\b=\frac{(2 - \ln 2)e}{4}\end{cases}$.
(2)由$f'(x)=\frac{e}{x}+bx(2 - x)e^{1 - x}=0$， 得$\frac{e}{x}=bx(x - 2)$. 显然$x＞0$，且$x≠2$. 因此$\frac{e}{x^{2}(x - 2)}=b$. 令$g(x)=\frac{e}{x^{2}(x - 2)}$，$x＞0$且$x≠2$，则$g'(x)=\frac{(x^{2}-5x + 4)xe}{(x^{2}(x - 2))^{2}}$， 解方程$x^{2}-5x + 4 = 0$得，$x_1 = 4$，$x_2 = 1$， 因此函数$g(x)$在$(0,1)$和$(4,+\infty)$上单调递增，在$(1,2)$和$(2,4)$上单调递减，且极大值为$g(1)= - e$，极小值为$g(4)=\frac{e}{32}$； 当$x→2^{+}$时，$g(x)→+\infty$，当$x→2^{-}$时，$g(x)→-\infty$，当$x→0$时，$g(x)→-\infty$，当$x→+\infty$时，$g(x)→0$， $g(x)$的大致图象如图所示. 由图象可知，当$b＞\frac{e}{32}$或$b＜ - e$时，直线$y = b$与函数$y = g(x)$的图象有两个交点，即函数$f'(x)$有两个零点； 当$b=\frac{e}{32}$或$b = - e$时，直线$y = b$与函数$y = g(x)$的图象有一个交点，即函数$f'(x)$有一个零点； 当$ - e＜b＜\frac{e}{32}$时，直线$y = b$与函数$y = g(x)$的图象没有交点，即函数$f'(x)$没有零点.

跟踪训练2（2024·厦门模拟）设函数$f(x)=\ln x-\frac{1}{2}ax^{2}-bx(a,b\in\mathbf{R})$.
(1)当$a = 2,b = 1$时，求函数$f(x)$的单调区间；
(2)当$a = 0,b = - 1$时，方程$f(x)=mx$在区间$[1,e^{2}]$上有唯一实数解，求实数$m$的取值范围.

答案： 解　
(1)依题意知$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$， 当$a = 2$，$b = 1$时，$f(x)=\ln x - x^{2}-x$，则$f'(x)=\frac{1}{x}-2x - 1=\frac{-(2x - 1)(x + 1)}{x}$， 令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$或$x = - 1$（舍去）， 当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，$f'(x)＞0$，当$x＞\frac{1}{2}$时，$f'(x)＜0$， 所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(0,\frac{1}{2})$，单调递减区间为$(\frac{1}{2},+\infty)$.
(2)当$a = 0$，$b = - 1$时，$f(x)=\ln x + x$，由$f(x)=mx$得$\ln x + x = mx$， 又$x＞0$，所以$m = 1+\frac{\ln x}{x}$， 要使方程$f(x)=mx$在区间$[1,e^{2}]$上有唯一实数解，只需$m = 1+\frac{\ln x}{x}$在区间$[1,e^{2}]$上有唯一实数解. 令$g(x)=1+\frac{\ln x}{x}$，$x∈[1,e^{2}]$， 则$g'(x)=\frac{1 - \ln x}{x^{2}}$， 由$g'(x)＞0$，得$1\leq x＜e$； 由$g'(x)＜0$，得$e＜x\leq e^{2}$， 所以$g(x)$在区间$[1,e)$上单调递增，在区间$(e,e^{2}]$上单调递减. 又$g(1)=1$，$g(e^{2})=1+\frac{\ln e^{2}}{e^{2}}=1+\frac{2}{e^{2}}$，$g(e)=1+\frac{1}{e}$， 则函数$g(x)=1+\frac{\ln x}{x}$，$x∈[1,e^{2}]$的大致图象如图所示. 由图象可知，$m = 1+\frac{1}{e}$或$1\leq m＜1+\frac{2}{e^{2}}$， 故$m$的取值范围为$\{1+\frac{1}{e}\}\cup[1,1+\frac{2}{e^{2}})$.