《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1. 奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于____对称，偶函数关于____对称.
(2)若$f(x + a)$是偶函数，则函数$f(x)$图象的对称轴为____；若$f(x + a)$是奇函数，则函数$f(x)$图象的对称中心为____.

答案：
(1)原点　y轴　
(2)x=a　(a,0)

2. 若函数$y = f(x)$满足$f(a - x)=f(a + x)$，则函数的图象关于直线$x = a$对称；若函数$y = f(x)$满足$f(a - x)= - f(a + x)$，则函数的图象关于点____对称.

答案： (a,0)

3. 两个函数图象的对称
(1)函数$y = f(x)$与$y = f( - x)$的图象关于____对称；
(2)函数$y = f(x)$与$y = - f(x)$的图象关于____对称；
(3)函数$y = f(x)$与$y = - f( - x)$的图象关于____对称.

答案：
(1)y轴　
(2)x轴　
(3)原点

1. 判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
(1)若函数$y = f(x)$是奇函数，则函数$y = f(x - 1)$的图象关于点$(1,0)$对称. （ ）
(2)若函数$y = f(x + 1)$是偶函数，则函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称. （ ）
(3)函数$y = 5^{x}$与$y = 5^{-x}$的图象关于$x$轴对称. （ ）
(4)若函数$f(x)$满足$f(2 + x)=f(2 - x)$，则$f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称. （ ）

答案：
(1)√　
(2)√　
(3)×　
(4)√

2. 函数$f(x)=\frac{x + 1}{x}$的图象的对称中心为（ ）
A. $(0,0)$
B. $(0,1)$
C. $(1,0)$
D. $(1,1)$

答案： B

3. 已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$在$( - \infty,2)$上单调递增，且$f(x + 2)=f(2 - x)$对任意$x\in\mathbf{R}$恒成立，则（ ）
A. $f( - 1)\lt f(3)$
B. $f(0)\gt f(3)$
C. $f( - 1)=f(3)$
D. $f(0)=f(3)$

答案： A

4. (2023·南昌检测)已知函数$y = f(x)$的图象经过点$P(1, - 2)$，则函数$y = - f( - x)$的图象必过点____.

答案： (-1,2)

例1 (1)(2024·株洲模拟)已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且函数$f(x + 1)$为偶函数，当$-1\leqslant x\leqslant0$时，$f(x)=x^{3}$，则$f(\frac{9}{2})$等于（ ）
A. $\frac{1}{8}$ B. $-\frac{1}{8}$ C. $\frac{27}{8}$ D. $-\frac{27}{8}$
(2)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x + 2)$为偶函数，$f(x)$在$[2, + \infty )$上单调递减，则不等式$f( - x^{2})\gt f( - 1)$的解集为____.

答案：
(1)A　[由函数f(x+1)为偶函数，可得函数∮(x)的图象关于直线x =1对称, 　所以f(2+x)=f(一x), 　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(4+x)=f(-2-x)=-f(2+x) 　=-f($\frac{4}{数}$x)=f(x), 　可得函数　　f(x)的周期为4， 　所以f($\frac{9}{2}$)=f($\frac{1}{2}$)=-f(-$\frac{1}{2}$) 　=-(-$\frac{1}{2}$)3=$\frac{1}{8}$ 　
(2)(-1,1) 　解析
∵f(x+2)是偶函数,
　
∴f(x+2)的图象关于直线x=0 对称，
　
∴∮(x)的图象关于直线x=2对称，又f(x)在[2,+∞)上单调递减，
　
∴f(x)在(-∞,2]上单调递增 　又一x²,-1∈(-00,2], 　f(-x²)＞f(-1)，
　
∴-x²＞-1,即x²＜1,
　
∴-1＜x＜1,
　
∴原不等式的解集为(-1,1).