《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

2.（选择性必修第二册 P98T4 改编）如图是$f(x)$的导函数$f'(x)$的图象，则$f(x)$的极小值点的个数为（ ）


A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： A

3. 若函数$f(x)=x^3 - ax^2 + 2x - 1$有两个极值点，则实数$a$的取值范围是________________.

答案： (-8。,　　$\sqrt{6}$)U(　$\sqrt{6}$，+∞)

4.（选择性必修第二册 P93 例 6 改编）函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3 - 4x + 4$在区间$[0,3]$上的最大值是______，最小值是______.

答案： 4　一$\frac{4}{3}$

例 1（多选）（2023·连云港模拟）如图是函数$y = f(x)$的导函数$f'(x)$的图象，下列说法正确的是（ ）


A. $f(1)$为函数$f(x)$的极大值
B. 当$x = -1$时，$f(x)$取得极小值
C. $f(x)$在$(-1,2)$上单调递增，在$(2,4)$上单调递减
D. 当$x = 3$时，$f(x)$取得极小值

答案： BC

例 2 设函数$f(x)=(x^2 + ax + a)e^x$，讨论$f(x)$的单调性并判断$f(x)$有无极值，若有极值，求出$f(x)$的极值.

答案：
解　f'(x)=(2x+a)e+(x²+a.x+a)e²=(x+2)(x+a)e 　当a=2时，∮(x)≥0， 　所以函数f(x)在R上是增函数，无极值; 　当a≠2时，令f(x)=0， 　解得x=-2或x=-a， 　不妨令x1＜x2(x;是-2与-a中较小的一个，x2是较大的一个), 　列表如下: 　当一a＞-2，即a＜2时，取x1=-2,x2=一a,其单调区间如表所示, 　极大值为f(-2)=(4-a)e-²，极小值为f(一a)=ae-. 　当一a＜-2，即a＞2时，取xx=-a,x2=-2，其单调区间如表所示，
　极小值为f(-2)=(4-a)e-²，极大值为f(一a)=ae-，

例 3（1）（2024·成都模拟）若函数$f(x)=x(x + a)^2$在$x = 1$处有极大值，则实数$a$的值为（ ）
A. 1 B. -1 或 -3
C. -1 D. -3
（2）（2023·威海模拟）若函数$f(x)=e^x - ax^2 - 2ax$有两个极值点，则实数$a$的取值范围为（ ）
A. $(-\frac{1}{2},0)$ B. $(-\infty,-\frac{1}{2})$
C. $(0,\frac{1}{2})$ D. $(\frac{1}{2},+\infty)$

答案：

(1)D 　
(2)D　[由f(x)=²-ax²-2ax，得∮、(x)=ex-2ax-2a. 　因为函数f(x)=e²-ax²-2ar有两个极值点， 　所以f,(x)=e-2ax-2a有两个变号零点， 　令f,(x)=0，得$\frac{1}{2a}$=$\frac{x+1}{e}$, 　设g(x)=$\frac{x+1}{e²}$.y=$\frac{1}{2a}$; 　则g'(x)=-$\frac{}{e}$, 　令g'(x)=0，即一$\frac{R}{e}$=0,解得x=0,当x＞0时，g’(x)＜0; 　当x＜0时，g'(x)＞0, 　所以g(x)在(-80,0)上单调递增，在(0，+8)上单调递减. 　当x→-∞时，g(x)→-∞; 　当x→+∞时， 　g(x)→0. 　分别作出函数 　g(x)=$\frac{x+1}{e}$与 　　　　　　　　 y=$\frac{1}{2a}$的图象，如 　图所示， 　由图可知，0＜$\frac{1}{2a}$＜1,解得a＞$\frac{1}{2}$，所以实数a的取值范围为($\frac{1}{2}$

跟踪训练 1（1）已知函数$f(x)=x^3 + ax^2 + bx - a^2 - 7a$在$x = 1$处取得极大值 10，则$a + b$的值为（ ）
A. -1 或 3 B. 1 或 -3
C. 3 D. -1
（2）（2023·商丘模拟）已知函数$f(x)=x^2 - a\ln(2x + 1)$在定义域内不存在极值点，则实数$a$的取值范围是________________.

答案：
(1)C　
(2)(一∞。)$\frac{1}{8}$

例 4（2022·全国乙卷）函数$f(x)=\cos x + (x + 1)\sin x + 1$在区间$[0,2\pi]$的最小值、最大值分别为（ ）
A. $-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$
B. $-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}$
C. $-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+2$
D. $-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}+2$

答案： D　[f(x)=cosx+(x+1)sinx +1,x∈[0,2π],则∮,(x)=-sinx+sinx+(x+1).cosx=(x+1)cosx，x 令∈[∮0;2(元x]=0,解得x=-1(舍去)或x =或x=$\frac{3π}{2}$ 因为f($\frac{π}{2}$)=cos+(/+1):sinN2+1=2+$\frac{π}{2}$, 　f(x)=cosmx+(x+1)sin芳+1 =-$\frac{3π}{2}$, 　又∮(O)=COsO+(0+1)sin0+1=2，f(2π)=cos2π+(2π+1)sin2π+1=2,所以f(x))m=f(/}=22+$\frac{π}{2}$, 　f(x)m=f(笤)=一笤，故选D.]