《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1 (1)(多选)下列不等式中正确的是（ ）
A. $x^{2}-2x＞-3(x\in\mathbf{R})$
B. $a^{3}+b^{3}\geqslant a^{2}b + ab^{2}(a,b\in\mathbf{R})$
C. $a^{2}+b^{2}＞2(a - b - 1)$
D. $\frac{a}{b}＜\frac{a + m}{b + m}(b＞a＞0,m＞0)$
(2)若正实数$a$，$b$，$c$满足$c＜c^{b}＜c^{a}＜1$，则（ ）
A. $a^{a}＜a^{b}＜b^{a}$ B. $a^{a}＜b^{a}＜a^{b}$
C. $a^{b}＜a^{a}＜b^{a}$ D. $a^{b}＜b^{a}＜a^{a}$

答案：
(1)AD　[
∵$x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2 \geq 2 ＞ 0$，
　
∴$x^2 - 2x ＞ -3$，故A正确； 　$a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = a^2(a - b) + b^2(b - a) = (a - b)(a^2 - b^2) = (a - b)^2(a + b)$。
　
∵$(a - b)^2 \geq 0$，$a + b$的符号不确定，
∴$a^3 + b^3$与$a^2b + ab^2$的大小不确定，故B错误；
　
∵$a^2 + b^2 - 2a + 2b + 2 = (a - 1)^2 + (b + 1)^2 \geq 0$。
　
∴$a^2 + b^2 \geq 2(a - b - 1)$，故C错误；用作差法比较$\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} = \frac{m(b - a)}{b(b + m)}$，
∵$b ＞ a ＞ 0$，$m ＞ 0$。
∴$\frac{m(b - a)}{b(b + m)} ＞ 0$，
∴$\frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m}$，故D正确] 　
(2)C

跟踪训练1 (1)若$\ln a＞\ln b$，则（ ）
A. $\frac{1}{a^{2}}＞\frac{1}{b^{2}}$ B. $\frac{b}{a}＜\frac{b - 2023}{a - 2023}$
C. $\pi^{a - b}＜3^{a - b}$ D. $a - b＞\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$
(2)已知$M=\frac{e^{2024}+1}{e^{2024}+1}$，$N=\frac{e^{2024}+1}{e^{2025}+1}$，则$M$，$N$的大小关系为$\underline{\qquad}$.

答案：
(1)D 　
(2)$M ＞ N$ 　解析　方法一
∵$M - N = \frac{e^{2023} + 1}{e^{2024} + 1} - \frac{e^{2024} + 1}{e^{2025} + 1}$ 　$= \frac{(e^{2023} + 1)(e^{2025} + 1) - (e^{2024} + 1)^2}{(e^{2024} + 1)(e^{2025} + 1)}$ 　$= \frac{e^{2023} + e^{2025} - 2e^{2024}}{(e^{2024} + 1)(e^{2025} + 1)}$ 　$= \frac{e^{2023}(e - 1)^2}{(e^{2024} + 1)(e^{2025} + 1)} ＞ 0$。
　
∴$M ＞ N$。 　方法二　令$f(x) = \frac{e^x + 1}{e^{x + 1} + 1} = \frac{\frac{1}{e}(e^{x + 1} + 1) + 1 - \frac{1}{e}}{e^{x + 1} + 1} = \frac{1}{e} + \frac{e - 1}{e(e^{x + 1} + 1)}$， 　显然$f(x)$是$R$上的减函数，
　
∴$f(2023) ＞ f(2024)$，即$M ＞ N$。

例2 (1)若实数$a$，$b$满足$a＜b＜0$，则（ ）
A. $a + b＞0$ B. $a - b＜0$
C. $|a|＜|b|$ D. $\left|\frac{1}{a}\right|＞\left|\frac{1}{b}\right|$

答案：
(1)B 　

(2)(多选)已知$a$，$b$，$c$为实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若$a＞b$，则$ac^{2}＞bc^{2}$
B. 若$a＞b$，则$a + c＞b + c$
C. 若$a＞b＞c＞0$，则$\frac{a}{b}＞\frac{a + c}{b + c}$
D. 若$a＞b＞c＞0$，则$\frac{b}{a - b}＞\frac{c}{a - c}$

答案：
(2)BCD　[当$c = 0$时，$ac^2 = bc^2$，故A错误； 　由不等式的可加性可知，B正确； 　若$a ＞ b ＞ c ＞ 0$，则$a - b ＞ 0$，$b + c ＞ 0$，
∴$\frac{a}{b} - \frac{a + c}{b + c} = \frac{a(b + c) - b(a + c)}{b(b + c)} = \frac{c(a - b)}{b(b + c)} ＞ 0$。
　
∴$\frac{a}{b} ＞ \frac{a + c}{b + c}$，故C正确； 　若$a ＞ b ＞ c ＞ 0$，则$a - b ＞ 0$，$a - c ＞ 0$，$b - c ＞ 0$，且$a - c ＞ a - b$，
　
∴$\frac{1}{a - b} ＞ \frac{1}{a - c} ＞ 0$。 　又$b ＞ c ＞ 0$， 　由可乘性知，$\frac{b}{a - b} ＞ \frac{c}{a - c}$，故D正确]

跟踪训练2 (1)设$a$，$b$，$c$，$d$为实数，且$c＜d$，则“$a＜b$”是“$a - c＜b - d$”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
(2)(多选)若$a＞b＞0$，则下列不等式中正确的是（ ）
A. $\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$
B. $-a^{2}＜-ab$
C. $\ln|a - 1|＞\ln|b - 1|$
D. $2^{a - b}＞1$

答案：
(1)B　
(2)ABD

例3 (1)已知$0＜x＜5$，$-1＜y＜1$，则$x - 2y$的取值范围是（ ）
A. $2＜x - 2y＜3$ B. $-2＜x - 2y＜3$
C. $2＜x - 2y＜7$ D. $-2＜x - 2y＜7$
延伸探究 若将条件改为“$-1\leqslant x + y\leqslant2$，$-2\leqslant x - y\leqslant1$”，求$x - 2y$的范围.

答案：
(1)D 　延伸探究解　设$x - 2y = m(x + y) + n(x - y)$，
　
∴$x - 2y = (m + n)x + (m - n)y$，$\begin{cases}m + n = 1\\m - n = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -\frac{1}{2}\\n = \frac{3}{2}\end{cases}$，
　
∴$x - 2y = -\frac{1}{2}(x + y) + \frac{3}{2}(x - y)$，
∵$-1\leqslant x + y\leqslant2$，$-2\leqslant x - y\leqslant1$，
∴$-1\leqslant -\frac{1}{2}(x + y)\leqslant\frac{1}{2}$， 　$-3\leqslant\frac{3}{2}(x - y)\leqslant\frac{3}{2}$，
　
∴$-4\leqslant -\frac{1}{2}(x + y) + \frac{3}{2}(x - y)\leqslant2$，即$-4\leqslant x - 2y\leqslant2$。 　

(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该微信群人数的最小值为（ ）
A. 20 B. 22 C. 26 D. 28

答案：
(2)B　[设教师人数为$x$，家长人数为$y$，女学生人数为$z$，男学生人数为$t$，$x$，$y$，$z$，$t\in N^*$，则$y\geq x + 1$，$z\geq y + 1\geq x + 2$，$t\geq z + 1\geq y + 2\geq x + 3$， 　则$x + y + z + t\geq 4x + 6$， 　又教师人数的两倍多于男学生人数，
∴$2x ＞ t\geq x + 3$，解得$x ＞ 3$， 　当$x = 4$时，$x + y + z + t\geq 22$，此时微信群人数的最小值为$22$。]