《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1（2022·新高考全国I）已知点A(2,1)在双曲线C:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1(a＞1)$上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求l的斜率；
（2）若$\tan\angle PAQ = 2\sqrt{2}$，求$\triangle PAQ$的面积.

答案： 解　
(1)将点A的坐标代入双曲线方程得$\frac{4}{a²}$-$\frac{1}{a²-1}$=1， 　化简得a⁴-4a²+4=0，得a²=2,故双曲线C的方程为$\frac{x}{2}$-y²=1. 　由题易知直线！的斜率存在， 　设直线1的方程为y=kx+m， 　P(x).y)),Q(x2.y2), 　联立直线1与双曲线C的方程，消y 整理得 　(2k²-1)x²+4kmx+2m²+2=0,故x1+x2=-$\frac{4km}{2k²-1}$,x1x2=$\frac{2m²+2}{2k²-1}$ 　kAp+kAa=$\frac{y-1}{-2}$+$\frac{y-1}{x-2}$ 　=$\frac{kx+m-1}{x-2}$+$\frac{kx2+m-1}{x-2}$=0, 　化简得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2) 　-4(m-1)=0, 　故$\frac{2k(2m+2)}{2k²-1}$+(m-1-2)(-$\frac{4km}{2k²-1}$) 　-4(m-1)=0, 　整理得(k+1)(m+2k-1)=0， 　又直线！不过点A,即m+2k-1≠0,故k=-1. 　
(2)不妨设直线PA的倾斜角为0 (0＜0＜$\frac{π}{2}$), 　由题意知∠PAQ=π-2θ， 　所以tan∠PAQ=-tan20=$\frac{2tanθ}{tan²θ-1}$ 　=2$\sqrt{2}$, 　解得tanθ=√2或tanθ=一$\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去).$\frac{y1}{x-2}$=√2， 　由　　　　　　　得x1=$\frac{10-4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{ri}{2}$-yǐ=1, 　　{ 　所以|AP1=√3|x1-2∣=$\frac{4√3\sqrt{2}-1)}{3}$，同理得x2=$\frac{10+4\sqrt{2}}{3}$, 所以IAQ|=√3|x2-21=$\frac{4√3(\sqrt{2}+1)}{3}$ 因为tan∠PAQ=2√2， 所以sin∠PAQ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$, 故S△PAQ=$\frac{1}{2}$|AP||AQ|sin∠PAQ =$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{3}$×$\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{16\sqrt{2}}{9}$

跟踪训练1 已知椭圆C:$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的离心率为$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$，其左、右顶点分别为A，B，下焦点为F，若$S_{\triangle ABF}=\sqrt{3}$.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P为椭圆C上的动点，且在第一象限运动，直线AP的斜率为k，且与y轴交于点M，过点M与AP垂直的直线交x轴于点N，若直线PN的斜率为$-\frac{2}{5}k$，求k值.

答案： 解　
(1)由题可知, S△ABF=$\frac{1}{2}$.2bc=$\sqrt{3}$, 即bc=$\sqrt{3}$，又e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$, 　bc=　　$\sqrt{3}$,　　　a=2,
∴$\frac{C}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,　　　b=1, 　a²=b²+c²　　C=$\sqrt{3}$, 　{ 　　　　　　 　　　　　　　　2

∴椭圆C的方程为$\frac{Y}{4}$+x²=1.
(2)由题意知A(-1,0)，kAp=k， 则直线AP:y=k(x+1)，
∴M(0,k) 　　　　y=k(x+1), 联立方程{$\frac{²}{4}$+x²=1　→(k²+4)x²+2k²x+k²-4=0,
∴xA+xp=$\frac{-2k²}{k²+4}$,xA.xp=$\frac{k²-4}{k²+4}$,
∴xp=$\frac{4-k²}{k+4}$,
∴yp=k(xp+1)=$\frac{8k}{k²+4}$,
∴P($\frac{4-k²}{k+4}$,$\frac{8k}{k²+4}$).
∵MN⊥AP,
∴则直线1MN:y=-$\frac{1}{k}$+k, 令y=0,解得x=k²，
∴N(k²,0), 　　　　　8k

∴kpv=　k²+4　　=一$\frac{2}{5}$k, 　　　$\frac{4-k²}{k+4}$-k² 即k⁴+5k³-24=0， 解得k²=3或k²=-8(舍)，
∵P在第一象限,
∴k=$\sqrt{3}$