《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

（2）（2023·开封模拟）已知函数$f(x)=|\log_{3}x|$，若$a ＜ b$，且$f(a)=f(b)$，则$a + 4b$的取值范围是（ ）
A.$[2\sqrt{2},+\infty)$
B.$(2\sqrt{2},+\infty)$
C.$[5,+\infty)$
D.$(5,+\infty)$

答案：
D　　[画出 　f(x)=|1og3x|的 　　　　　　　　 图象如图所示， 　因为a＜b, 　且∮(a)=f(b)， 　所以-log3a=1og3b, 　故$\frac{1}{a}$=b，且0＜a＜1, 　令y=a+4b，所以y=a÷$\frac{4}{a}$. 　由对勾函数的性质可知y=a+$\frac{4}{a}$在(0,1)上单调递减，故y=a÷$\frac{4}{a}$＞1+41=5, 　故a+4b的取值范围是(5，+∞).]

跟踪训练2（1）（2024·乌鲁木齐检测）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数$f(x)=a^{x}$与$g(x)=\log_{\frac{1}{a}}x(a＞0$且$a\neq1)$在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A.
B.

答案： C

（2）（2023·德州模拟）若函数$f(x)=\log_{a}(x + b)(a＞0$且$a\neq1$，$b\in\mathbf{R})$的大致图象如图，则函数$g(x)=a^{-x}-b$的大致图象是（ ）

答案： C　[根据函数f(x)=log。(x+b) 　的图象，可得0＜a＜1,0＜b＜1， 　根据指数函数y=ax(0＜a＜1)的图象与性质， 　结合图象变换向下移动b个单位长度，可得函数g(x)=a-x-b的图象大致为C选项]

例3（2023·西安模拟）若$a = \lg0.2$，$b = \log_{3}2$，$c = \log_{5}4$，则关于$a$，$b$，$c$的大小关系，下列说法正确的是（ ）
A.$c ＞ b ＞ a$
B.$b ＞ c ＞ a$
C.$c ＞ a ＞ b$
D.$a ＞ b ＞ c$

答案： A　[
∵a=1g0.2＜1g1=0， 　b=log32＞0.c=logs4＞0, 　　　　　　1g2 　$\frac{b}{C}$=$\frac{log2}{logs4}$=$\frac{g3}{g4}$=$\frac{g2}{lg3}$×$\frac{1g6}{2lg2}$=$\frac{g6}{lg9}$ 　　　　　　-1g6 　＜1,
　
∴b＜c,即c＞b＞a.]

例4（2023·中山模拟）设实数$a＞0$，则“$2^{a}＞2$”是“$\log_{a}(a + \frac{1}{2})＞0$”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A　[由2＞2,可得a＞1. 　由1og.(a+$\frac{1}{2}$)＞0, 　可得10g.(a+$\frac{1}{2}$)＞10g.1. 　　a＞1,　　　0＜a＜1,
　
∴{a+$\frac{1}{2}$＞或{a+$\frac{1}{2}$＜1, 　解得a＞1或0＜a＜$\frac{1}{2}$ 　因此“2“＞2”是“log:(a+$\frac{1}{2}$)＞0”的充分不必要条件.]

例5（2023·郑州模拟）设函数$f(x)=\ln|2x + 1|-\ln|2x - 1|$，则$f(x)$（ ）
A.是偶函数，且在$(\frac{1}{2},+\infty)$上单调递增
B.是奇函数，且在$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$上单调递减
C.是偶函数，且在$(-\infty,-\frac{1}{2})$上单调递增
D.是奇函数，且在$(-\infty,-\frac{1}{2})$上单调递减

答案： D[由f(x)=1n|2x+11-1n|2x -11, 　得f(x)的定义域为{x|x≠±$\frac{1}{2}$ 　关于坐标原点对称， 　又∮(一x)=1n|1-2x｜-1n｜-2x-1｜= 　ln|2x-1|-1n|2x+1|=-f(x),
　
∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除 A.C; $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)时，f(x)=1n(2x 1-2x),
∵y=1n(2x+1)在(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)上单调递增,y=1n(1-2x)在(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)上单调递减,
∴f((x)在(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)上单调递增，故排除B; 当x∈(-∞,)$\frac{1}{2}$)时， ∮(x)=1n(-2x-1)-ln(1-2x) =1n$\frac{2+1}{2.x-1}$=1n(1+$\frac{2}{2.x-1}$),
∵u=1+$\frac{2}{2.-1}$在(-85,一$\frac{1}{2}$)上单调递减,f(u)=1nu在(0，+∝)上单调递增， 根据复合函数单调性可知f(x)在(-8△,-$\frac{1}{2}$)上单调递减，故D正确]

跟踪训练3（1）（2023·宜宾模拟）已知函数$f(x)=\log_{2}(x^{2}-2x)$在$(a,+\infty)$上单调递增，则$a$的取值范围是（ ）
A.$[2,+\infty)$
B.$[1,+\infty)$
C.$(-\infty,1]$
D.$(-\infty,0]$

答案： A

（2）若函数$f(x)=\log_{a}(x^{2}-2ax+\frac{5}{2}a - 1)$有最大值，则$a$的取值范围为（ ）
A.$(0,\frac{1}{2})$
B.$(\frac{1}{2},1)$
C.$(\frac{2}{5},\frac{1}{2})$
D.$(1,2)$

答案： B[令t=x²-2ax+$\frac{5}{2}$a-1, 根据复合函数的单调性，要使函数∮(x)=log。(x²-2ax+$\frac{5}{2}$a-1)有最大值， 则函数t=x²-2ax+$\frac{5}{2}$a-1有最小正值，且函数f(t)=log为减函数，可知0＜a＜1. 要使函数t=x²-2ax+$\frac{5}{2}$a-1有最小正值， 则A=4a²-4($\frac{5}{2}$a-1)＜0, 解得$\frac{1}{2}$＜a＜2. 综上，a的取值范围为($\frac{1}{2}$,1).]