《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练1 (1)已知圆$C_1:(x + 3)^2 + y^2 = 1$，$C_2:(x - 3)^2 + y^2 = 9$，动圆$M$同时与圆$C_1$和圆$C_2$相外切，则动圆圆心$M$的轨迹方程为 ( )
A.$x^2 - \frac{y^2}{8}=1$
B.$\frac{x^2}{8}-y^2 = 1$
C.$x^2 - \frac{y^2}{8}=1$ ($x\leq -1$)
D.$x^2 - \frac{y^2}{8}=1$ ($x\geq 1$)
(2)已知$F_1,F_2$为双曲线$C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$的左、右焦点，$P$是$C$的右支上一点，则$\frac{|PF_1|^2}{|PF_2|}$的最小值为 ( )
A.16 B.18
C.$8 + 4\sqrt{2}$ D.$9+\frac{15\sqrt{2}}{2}$

答案：
(1)C　
(2)A

例2 (1)与椭圆$C:\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1$共焦点且过点$(1,\sqrt{3})$的双曲线的标准方程为 ( )
A.$x^2 - \frac{y^2}{3}=1$ B.$y^2 - 2x^2 = 1$
C.$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$ D.$\frac{y^2}{3}-x^2 = 1$
(2)(2023·安阳模拟)已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a ＞ 0,b ＞ 0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，$|F_1F_2| = 2\sqrt{3}$，$P$为$C$上一点，$PF_1$的中点为$Q$，$\triangle PF_2Q$为等边三角形，则双曲线$C$的方程为 ( )
A.$x^2 - \frac{y^2}{2}=1$ B.$\frac{x^2}{2}-y^2 = 1$
C.$\frac{2x^2}{3}-\frac{2y^2}{3}=1$ D.$3x^2 - \frac{3y^2}{8}=1$

答案：
(1)C[圆C的焦点坐标为2(0，±2$\sqrt{2}$),设双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{a^2}$-$\frac{x^2}{b^2}$=1 由曲线的定义可得 　2a=|$\sqrt{1²+(\sqrt{3}+2\sqrt{2})²}$-$\sqrt{1²+(\sqrt{3}-2\sqrt{2})²}$ 　=　($\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$)-($\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$)=2$\sqrt{2}$
　
∴a=$\sqrt{2}$,
　
∵c=2$\sqrt{2}$,
∴b=$\sqrt{2}$， 　因此双曲线的方程为$\frac{y^2}{2}$-$\frac{x^2}{2}$=1.] 　
(2)A　[由题可知双曲线的焦距为2c =2$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$ 　因为PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形， 　所以|F₁Q|=|F₂Q|=|F₂P|=|PQ|,所以∠PF₂Q=60°，∠F₁F₂Q=30°，故PF₂⊥F₁F₂, 　所以|PF₂|=$\frac{|F₁F₂|}{tan60°}$=$\frac{2c}{\sqrt{3}}$， 　|PF₁|=2|PF₂|=$\frac{4c}{\sqrt{3}}$， 　所以|PF₁|-|PF₂|=$\frac{4c}{\sqrt{3}}$-$\frac{2c}{\sqrt{3}}$=$\frac{2c}{\sqrt{3}}$ 　=2a，所以$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$, 　所以a=1，b=$\sqrt{2}$ 　所以双曲线C的方程为x²-$\frac{y²}{2}$=1.]

跟踪训练2 (1)(2024·榆林模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在$x$轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是 ( )
A.$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ B.$\frac{x^2}{4}-y^2 = 1$
C.$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{9}=1$ D.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$
(2)(2023·内江模拟)设$F_1,F_2$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a ＞ 0,b ＞ 0$)的左、右焦点，$O$为坐标原点，过左焦点$F_1$作直线$F_1P$与圆$x^2 + y^2 = a^2$切于点$E$，与双曲线右支交于点$P$，且满足$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF_1})$，$|\overrightarrow{OE}|=\sqrt{2}$，则双曲线的方程为________________.

答案：
(1)D 　
(2)$\frac{x²}{2}$-$\frac{y²}{8}$=1

例3 (1)(2023·连云港模拟)若双曲线经过点$(1,\sqrt{3})$，其渐近线方程为$y = \pm 2x$，则双曲线的方程是________.
(2)(2023·渭南统考)双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a ＞ 0,b ＞ 0$)的左、右焦点分别为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，过$F_2$作双曲线$C$的一条渐近线的垂线，垂足为$A$，若$\triangle AF_1F_2$的面积为$\frac{1}{2}bc$，则双曲线$C$的渐近线方程为________________.

答案：
(1)4x²-y²=1 　解析　方法一　　由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$ 　=1(a＞0,b＞0),则$\frac{1}{a^2}$-$\frac{3}{b^2}$=1且$\frac{b}{a}$ 　=2，联立解得a=$\frac{1}{2}$,b=1,则双曲线的方程为4x²-y²=1; 　②若双2曲线的焦点在y轴上，则可设$\frac{y^2}{a^2}$-$\frac{x^2}{b^2}$=1(a＞0,b＞0),则$\frac{3}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$ 　=1,且$\frac{a}{b}$=2，此时无解， 　综上，双曲线的方程为4x²-y²=1.方法二　由题可设双曲线方程为4x²-y²=λ(λ≠0)，
　
∵双曲线经过点(1，$\sqrt{3}$),
　
∴λ=4×1²-（$\sqrt{3}$）²=1,
　
∴双曲线方程为4x²-y²=1. 　
(2)y=±$\sqrt{3}$x 　解析　由题意知双 　曲线C的渐近线 　方程为y=±$\frac{b}{a}$x， 　如图，由双曲线的 　对称性，不妨取y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0，则|F₂A|=$\frac{|bc|}{\sqrt{b²+a²}}$=b, 　所以|OA|=$\sqrt{|OF₂|²-|F₂A|²}$= 　$\sqrt{c²-b²}$=a, 　所以S△AOF₂=$\frac{1}{2}$ab, 　因为△AF₁F₂　的面积为$\frac{1}{2}$bc,S△AF₁F₂=2S△AOF₂, 　所以$\frac{1}{2}$bc=2×$\frac{1}{2}$ab，即c=2a， 所以a²+b²=4a²，即$\frac{b²}{a²}$=3，故$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$,所以双曲线C的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x.