《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练1 在如图所示的空间几何体中，四边形ABEF与ABCD都是梯形，BC//AD且BC = $\frac{1}{2}$AD，BE//AF且BE = $\frac{1}{2}$AF，G，H分别为AF，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

答案：
(1)证明　由题设知，因为G，H分别为AF，FD的中点，所以GH//AD且GH = $\frac{1}{2}$AD，又BC//AD且BC = $\frac{1}{2}$AD，故GH//BC且GH = BC，所以四边形BCHG是平行四边形.
(2)解　C，D，F，E四点共面.理由如下：由BE//AF且BE = $\frac{1}{2}$AF，G是AF 的中点知BE//GF且BE = GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF//BG. 由
(1)知BG//CH，所以EF//CH.故E，C，F，H共面.又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.

例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是( )
A.M∈α，M∈β，α∩β = l⇒M∈l
B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β = AB
C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合

答案： ABD

(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A.异面或平行
B.异面或相交
C.异面
D.相交、平行或异面

答案： D

跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC = ∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能

答案： D

(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为棱C₁D₁，C₁C的中点，以下四个选项正确的是( )


A.直线AM与CC₁是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB₁是异面直线
D.直线AM与DD₁是异面直线

答案： CD

例3 (1)如图，圆柱的轴截面AB - CD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{30}}{6}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{6}$

答案： D

(2)四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，则四棱锥外接球的表面积为( )
A.48π
B.12π
C.36π
D.9π

答案： D

跟踪训练3 (1)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF - A₁B₁C₁D₁E₁F₁的底面边长为1，高为$\sqrt{6}$，则直线AE₁和EF所成角的大小为( )
A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案： C

(2)平面α过正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的顶点A，α//平面CB₁D₁，α∩平面ABCD = m，α∩平面ABB₁A₁ = n，则m，n所成角的正弦值为( )
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： A [如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁相同棱长的正方体，易知平面α为平面A₁FE，则m，n所成的角为∠EAF₁.
∵△AF₁E为正三角形，
∴sin∠EAF₁ = sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.]