《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1（2023·新高考全国Ⅱ）已知$\{ a_{n}\}$为等差数列，$b_{n}=\begin{cases}a_{n}-6,n为奇数\\2a_{n},n为偶数\end{cases}$，记$S_{n}$，$T_{n}$分别为数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$的前$n$项和，$S_{4}=32$，$T_{3}=16$.
（1）求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）证明：当$n ＞ 5$时，$T_{n} ＞ S_{n}$.

答案： 例1
(1)解　设等差数列{aN)的公差为d,而b={a2a。-,6n,为n偶为奇数数，， 　则b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3 =a3忒=aa+十2d6。32, 　于是{T=4a+4d-12=16 　解得a1=5,d！=2,a=a1+(,n-1)d =2n+3， 　所以数列a)的通项公式是a=2n+3. 　
(2)证明　　方法一　　由
(1)知，S。= 　$\frac{n(5+2n+3)}{2}$=n²+4n, 　b。={24nn-+36,,nn为为偶奇数数，， 　当n为偶数时，b。-+b²=2(n-1)-3+4n+6=6n+1. 　T.=$\frac{13+(6n+1)}{2}$$\frac{n}{2}$=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{7}{2}$n,当n＞5时，T.-sn=($\frac{3}{2}$n²+$\frac{7}{2}$n)-(n²+4n)=$\frac{1}{2}$n(n-1)＞0. 　因此T.＞S. 　当n为奇数时，T。=TR+1-b。+1= 　$\frac{3}{2}$(n+1)²+$\frac{7}{2}$(n+1)-[4(n+1)+6]=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n-5, 当n＞5时,T.-s=($\frac{3}{2}$n十$\frac{5}{2}$n-5) -(n²+4n)=$\frac{1}{2}$(n+2)(n-5)＞0.因此T.＞S。. 综上，当n＞5时,T。＞S。. 方法二　由
(1)知，S=$\frac{n(5+2n+3)}{2}$ =n²+4n， b={42nn-+36,,nn为为奇偶数数，， 当n为偶数时，T。=(b1+b3+...+b。-1)+(b2+b+...+bn)= $\frac{-1+2(n-1)-3}{2}$.$\frac{n}{2}$+14+42n+6.$\frac{n}{2}$=$\frac{3}{2}$n²十$\frac{7}{2}$n, 当n＞5时，T。-SN=($\frac{3}{2}$n²÷$\frac{7}{2}$n) -(n²+4n)=$\frac{1}{2}$n(n-1)＞0, 因此T。＞S。, 当n为奇数时，若n≥3, 则T=(b1+b3+...+b开)+(b2+bi +...+bn-1)=$\frac{-1+2n-3}{2}$.$\frac{n+1}{2}$+$\frac{14+4(n-1)+6}{2}$.$\frac{n-1}{2}$=$\frac{3}{2}$n2÷$\frac{5}{2}$n-5，显然T！=b1=-1满足上式,因此当n为奇数时，T，=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n-5,当n＞5时,T.-s=($\frac{3}{2}$n²+n-5|) 一(n²+4n)=$\frac{1}{2}$(n+2)(n-5)＞0.因此T.＞S。, 所以当n＞5时,T|＞S

跟踪训练1（2023·岳阳模拟）已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，其公比$q\neq -1$，$\frac{a_{4}+a_{5}}{a_{7}+a_{8}}=\frac{1}{27}$，且$S_{4}=a_{3}+93$.
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）已知$b_{n}=\begin{cases}\log_{\frac{1}{2}}a_{n},n为奇数\\a_{n},n为偶数\end{cases}$，求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 跟踪训练1　解　(
(1)因为　(a,)是等比数列，公比q≠-1, a则8=a4a=1qa71,q³,as=aq⁴，a7=a1q⁶,所以$\frac{a+as}{a+a8}$=$\frac{aq+aq}{aq°+aq}$=$\frac{1}{q}$=$\frac{1}{27}$，解得q=3, 由S=a3+93，可得$\frac{a(1-34)}{1-3}$=9a1 ÷93，解得a1=3， 所以数列|a。)的通项公式为a。=3”.
(2)由
(1)得bn={3一”n,n，n为为偶奇数数，, 当n为偶数时，T=b！+b2+...+b。=(bi+b3+...+b。-1)+(b2+b+...+b。)=-(1+3+...+n-1)+(3²+3+...+3”) 　　$\frac{n}{2}$[1+(n-1)]　　　　　。 =一　　　　2　　2　　十$\frac{9(1-9²)}{1-9}$ =$\frac{9}{8}$(3”-1)-$\frac{n}{4}$; 当n为奇数时，T，=Tm+1-bn+1 =$\frac{9}{8}$(3+¹-1)-$\frac{(n+1)}{4}$-3+¹ =$\frac{1}{8}$×3+¹一$\frac{9}{8}$-$\frac{(n+1)²}{4}$, 综上所述，T.= 　$\frac{1}{8}$×3+¹一$\frac{9}{8}$-$\frac{(n+1)}{4}$,n为奇数，$\frac{9}{8}$(3”-1)-$\frac{n}{4}$,n为偶数 {