《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练 3 已知函数$f(x)=x^{2}-3x + a$.
(1)若$f(x)＞0$在$x\in\mathbf{R}$上恒成立，求实数$a$的取值范围；
(2)若$f(x)＜0$在$x\in(-1,2)$上恒成立，求实数$a$的取值范围.

答案： 解
(1)f(x) = x² - 3x + a = (x - 3/2)² + a - 9/4， 则f(x)min = f(3/2) = a - 9/4， f(x) ＞ 0在x ∈ R上恒成立， 即f(x)min = a - 9/4 ＞ 0，故a ＞ 9/4。 故实数a的取值范围是(9/4, +∞)。
(2)f(x) = x² - 3x + a = (x - 3/2)² + a - 9/4， f(x)在[-1,2]上的最大值为f(x)max = f(-1) = (-1 - 3/2)² + a - 9/4 = 4 + a， 故f(x)在x ∈ (-1,2)上满足f(x) ＜ 4 + a，故4 + a ≤ 0，解得a ≤ -4。 故实数a的取值范围是(-∞, -4]。

例1 已知$x,y\in\mathbf{R}$，$3x^{2}+2y^{2}\leqslant6$，求$2x + y$的最值.

答案： 方法一　由柯西不等式得 　(2x+y)²≤[(　$\sqrt{3}$x)²+(　$\sqrt{2}$y)²]. [$\frac{2}{3}$)²+$\frac{1}{2}$)²{ 　=(3x²+2y²)($\frac{4}{3}$+$\frac{1}{2}$)＜11. 　当且仅当$\sqrt{3}$x.$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$　.$\frac{2}{3}$， x=$\frac{4\sqrt{11}}{11}$，　　x=-$\frac{4\sqrt{11}}{11}$,即　　　　　　　或　　　　　　　　时y=$\frac{3\sqrt{11}}{11}$　　　y=一$\frac{3\sqrt{11}}{11}$ 　　{　　　　　　　{ 　等号成立， 　于是2x+y的最大值为　$\sqrt{11}$,最小值为一　$\sqrt{11}$ 　方法二　由柯西不等式得 　12x+y|≤　$\sqrt{\sqrt{3}x)²+(\sqrt{2}y²}$.$\sqrt{\frac{2}{3})+(/12)}$ 　=　$\sqrt{(3x²+2y²)(\frac{4}{3}十\frac{1}{2}}$)＜　$\sqrt{1}$ 　当且仅当$\sqrt{3}$x.√2　　$\sqrt{2}$y.$\frac{2}{3}$, 　　　x=$\frac{4\sqrt{11}}{11}$，　　x=-$\frac{4\sqrt{11}}{11}$，即　　　　　　　或　　　　　　　　时泛=$\frac{3\sqrt{11}}{11}$　　　y=一$\frac{3\sqrt{11}}{11}$ 　　{　　　　　　　{ 　等号　成立， 　于是2x+y的最大值为　$\sqrt{11}$，最小值为一　$\sqrt{11}$

跟踪训练1 设$\boldsymbol{a}=(1,-2)$，$\boldsymbol{b}=(x,y)$，若$x^{2}+y^{2}=16$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$的最大值为_______.

答案： 4$\sqrt{5}$ 　解析
∵a=(1,-2),b=(x,y)，
∴a▪b=x-2y. 　由柯西不等式的向量形式可得 　 [1²+(-2)²](x²+y²)≥(x-2y)²,即5×16≥(x-2y)².
　
∴-4$\sqrt{5}$≤x-2y≤4$\sqrt{5}$,　　　　() 　当且仅当b=ka， 　　x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$, 　即　　　　　　时，()式中右边等号y=-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$ 　　{ 　成立， 　　x==$\frac{4√5}{5}$， 　或　　　　　　时，()式中左边等号$\frac{8\sqrt{5}}{5}$ 　　{ 　成立，
　
∴当x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$,y==$\frac{8\sqrt{5}}{5}$时，a.b的最大值为4√5.