《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例2（1）下列命题正确的是（ ）
A.若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线，$\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{c}$共线，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{c}$共线
B.向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$共面，即它们所在的直线共面
C.若空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$不共面，则$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$都不为$\boldsymbol{0}$
D.若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$共面，则存在唯一的实数对$(x,y)$，使得$\boldsymbol{a}=x\boldsymbol{b}+y\boldsymbol{c}$
（2）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A. $|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$是$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共线的充要条件
B.若$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$共线，则$AB// CD$
C. $A$，$B$，$C$三点不共线，对空间任意一点$O$，若$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{OC}$，则$P$，$A$，$B$，$C$四点共面
D.若$P$，$A$，$B$，$C$为空间四点，且有$\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{PB}+\mu\overrightarrow{PC}(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$不共线），则$\lambda+\mu = 1$是$A$，$B$，$C$三点共线的充要条件

答案： （1）C　（2）CD

跟踪训练2（1）已知空间中$A$，$B$，$C$，$D$四点共面，且其中任意三点均不共线，设$P$为空间中任意一点，若$\overrightarrow{BD}=6\overrightarrow{PA}-4\overrightarrow{PB}+\lambda\overrightarrow{PC}$，则$\lambda$等于（ ）
A.2 B. - 2 C.1 D. - 1
（2）（2024·金华模拟）已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为1，且满足$\overrightarrow{DE}=x\overrightarrow{DA}+y\overrightarrow{DC}+(1 - x - y)\overrightarrow{DD_{1}}$，则$|\overrightarrow{DE}|$的最小值是（ ）
A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D. $\frac{2}{3}$

答案：

例3 如图，已知平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，底面$ABCD$是边长为1的正方形，$AA_{1}=2$，$\angle A_{1}AB=\angle A_{1}AD = 120^{\circ}$.
（1）求线段$AC_{1}$的长；
（2）求异面直线$AC_{1}$与$A_{1}D$所成角的余弦值；
（3）求证：$AA_{1}\perp BD$.

答案： （1）解：设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$，则$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$|\boldsymbol{c}| = 2$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0$，$\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{c}||\boldsymbol{a}|\cos120^{\circ}=-1$，$\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{c}||\boldsymbol{b}|\cos120^{\circ}=-1$。 因为$\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$， 所以$|\overrightarrow{AC_{1}}|^{2}=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|^{2}$ $=\sqrt{(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})^{2}}$ $=\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}}$ $=\sqrt{1 + 1 + 4 + 0 - 2 - 2}=\sqrt{2}$， 所以线段$AC_{1}$的长为$\sqrt{2}$。 （2）因为$\overrightarrow{A_{1}D}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$， 所以$\overrightarrow{AC_{1}}\cdot\overrightarrow{A_{1}D}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$ $=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}^{2}-\boldsymbol{c}^{2}$ $=0 + 1 + 1 - 4=-2$， $|\overrightarrow{A_{1}D}| = |\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=\sqrt{(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})^{2}}$ $=\sqrt{|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2}-2\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}}$ $=\sqrt{1 + 4 + 2}=\sqrt{7}$， 设异面直线$AC_{1}$与$A_{1}D$所成的角为$\theta$，则$\cos\theta =|\cos\langle\overrightarrow{AC_{1}},\overrightarrow{A_{1}D}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{AC_{1}}\cdot\overrightarrow{A_{1}D}|}{|\overrightarrow{AC_{1}}||\overrightarrow{A_{1}D}|}=\frac{|-2|}{\sqrt{2}\times\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{14}}{7}$， 即异面直线$AC_{1}$与$A_{1}D$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{7}$。 （3）证明：因为$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$，所以$\overrightarrow{AA_{1}}\cdot\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=-1 + 1 = 0$，所以$\overrightarrow{AA_{1}}\perp\overrightarrow{BD}$。