《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
(1)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列. （ ）
(2)数列1,0,1,0,1,0,···的通项公式只能是$a_{n}=\frac{1 + (-1)^{n + 1}}{2}$. （ ）
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列. （ ）
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点. （ ）

答案：
(1)√　
(2)×　
(3)×　
(4)√

2.已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=9 + 12n$，则在下列各数中，不是$\{ a_{n}\}$的项的是 （ ）
A.21
B.33
C.152
D.153

答案： C

3.（选择性必修第二册P8T4改编）已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}+n$，那么它的通项公式$a_{n}$等于 （ ）
A.$n$
B.2$n$
C.2$n$+1
D.$n$+1

答案： B

4.（选择性必修第二册P9T5改编）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.如图中的数1,5,12,22,···称为五边形数，则第8个五边形数是__________.

答案： 92

例1 (1)设$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若$2S_{n}=3a_{n}-3$，则$a_{4}$等于 （ ）
A.27 B.81 C.93 D.243
(2)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+\cdots+na_{n}=2^{n}$，则$a_{n}=$________________.

答案：
(1)B　
(2)$\begin{cases}2,n = 1\\\frac{2^{n - 1}}{n},n\geqslant2\end{cases}$

跟踪训练1 (1)(2023·潍坊统考)已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且满足$S_{m}+S_{n}=S_{m + n}$，若$a_{1}=2$，则$a_{20}$等于 （ ）
A.2 B.4 C.20 D.40
(2)(2023·深圳模拟)设数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{1}=3$且当$n\geqslant2$时，$2a_{n}=S_{n}\cdot S_{n - 1}$，则$\{ a_{n}\}$的通项公式$a_{n}=$________________.

答案：
(1)A $\begin{cases}3,n = 1\\\frac{18}{(5 - 3n)(8 - 3n)},n\geqslant2\end{cases}$

例2 若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1}-a_{n}=\lg(1+\frac{1}{n})$，且$a_{1}=1$，则数列$\{ a_{n}\}$的第100项为 （ ）
A.2
B.3
C.1+\lg99
D.2+\lg99

答案： B　[因为$a_{n + 1}-a_{n}=\lg(1+\frac{1}{n})=\lg\frac{n + 1}{n}=\lg(n + 1)-\lg n$，所以$a_{100}-a_{99}=\lg100-\lg99$，$a_{3}-a_{2}=\lg3-\lg2$，$a_{2}-a_{1}=\lg2-\lg1$，以上99个式子累加得$a_{100}-a_{1}=\lg100$，所以$a_{100}=\lg100 + 1 = 3$.]

例3 设在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$a_{n + 1}=\frac{n}{n + 1}a_{n}$，则$a_{n}=$________________.

答案： $\frac{2}{n}$ 解析
∵$a_{n + 1}=\frac{n}{n + 1}a_{n}$，$a_{1}=2$，
∴$a_{n}\neq0$，
∴$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\frac{n}{n + 1}$，
∴$a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}\cdot\frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}}\cdot\frac{a_{n - 2}}{a_{n - 3}}\cdots\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdot a_{1}=\frac{n - 1}{n}\cdot\frac{n - 2}{n - 1}\cdot\frac{n - 3}{n - 2}\cdots\frac{1}{2}\cdot2=\frac{2}{n}(n\geqslant2)$.当$n = 1$时，$a_{1}=2$满足上式。

跟踪训练2 (1)设数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，且$a_{n + 1}-a_{n}=n + 1(n\in N^{*})$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为________________.
(2)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=2$，$(n + 1)a_{n + 1}=2(n + 2)a_{n}$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为________________.

答案：
(1)$a_{n}=\frac{n^{2}+n}{2}$
(2)$a_{n}=(n + 1)\cdot2^{n - 1}(n\in N^{*})$ 解析
∵$(n + 1)a_{n + 1}=2(n + 2)a_{n}$，
∴$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\frac{2(n + 2)}{n + 1}$，则$a_{n}=a_{1}\cdot\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdot\frac{a_{3}}{a_{2}}\cdot\frac{a_{4}}{a_{3}}\cdots\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=2\times(\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}\times\frac{5}{4}\times\cdots\times\frac{n + 1}{n})=(n + 1)\cdot2^{n - 1}(n\geqslant2)$.当$n = 1$时，$a_{1}=2$满足上式，
∴$a_{n}=(n + 1)\cdot2^{n - 1}(n\in N^{*})$.