《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例3 已知函数$f(x)=e^{x}+x + 4\ln(2 - x)$.
(1)求函数$f(x)$的图象在点$(0,f(0))$处的切线方程；
(2)判断函数$f(x)$的零点个数，并说明理由.

答案： 解　
(1)$f'(x)=e^{x}+1-\frac{4}{2 - x}(x ＜2)$，所以$f'(0)=e^{0}+1-\frac{4}{2 - 0}=0$，又$f(0)=e^{0}+0 + 4\ln(2 - 0)=1 + 4\ln 2$，所以切点坐标为$(0,1 + 4\ln 2)$， 所以函数$f(x)$的图象在点$(0,f(0))$处的切线方程为$y = 1 + 4\ln 2$.
(2)方法一　函数$f(x)$有两个零点，理由如下： 令$g(x)=f'(x)$，$x∈(-\infty,2)$， $g'(x)=e^{x}-\frac{4}{(2 - x)^{2}}=\frac{(2 - x)^{2}e^{x}-4}{(2 - x)^{2}}$，令$h(x)=(2 - x)^{2}e^{x}-4$，$x∈(-\infty,2)$，$h'(x)=x(x - 2)e^{x}$， 当$x＜0$时，$h'(x)＞0$，$h(x)$单调递增，当$0＜x＜2$时，$h'(x)＜0$，$h(x)$单调递减， 所以$h(x)\leq h(0)=0$， 故$g'(x)\leq0$， 所以$g(x)$在$(-\infty,2)$上为减函数，所以当$x＜0$时，$g(x)＞g(0)=0$，即当$x＜0$时，$f'(x)＞0$，$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增， 当$0＜x＜2$时，$g(x)＜g(0)=0$，即当$0＜x＜2$时，$f'(x)＜0$，$f(x)$在$(0,2)$上单调递减， 又因为$f(2 - e^{6})=e^{2 - e^{6}}+2 - e^{6}+24 ＜0$，$f(0)=1 + 4\ln 2＞0$，$f(2 - e^{-6})=e^{2 - e^{-6}}+2 - e^{-6}+4\ln e^{-6}=e^{2 - e^{-6}}+2 - e^{-6}-24＜e^{2}-22＜0$， 所以$f(x)$在区间$(2 - e^{6},0)$，$(0,2 - e^{-6})$内各有一个零点，即函数$f(x)$有两个零点. 综上，函数$f(x)$有两个零点. 方法二　函数$f(x)$有两个零点，理由如下： 令$f(x)=e^{x}+x + 4\ln(2 - x)=0$，可得$e^{x}=-x - 4\ln(2 - x)$， 判断函数$f(x)$的零点个数即判断函数$t(x)=e^{x}(x＜2)$与$g(x)=-x - 4\ln(2 - x)(x＜2)$图象交点的个数.$t(x)=e^{x}$为增函数，$t(x)＞0$， 当$x→-\infty$时，$t(x)→0$， 当$x→-\infty$时，$g(x)→+\infty$， 由$g'(x)=-1+\frac{4}{2 - x}=\frac{x + 2}{2 - x}=0$，得$x = - 2$， 当$-2＜x＜2$时，$g'(x)＞0$，$g(x)$单调递增，当$x＜ - 2$时，$g'(x)＜0$，$g(x)$单调递减， 因为$g(-2)=2 - 4\ln 4＜0$，$g(-e + 2)=e^{3}-2 - 4\ln e^{3}=e^{3}-14 ＞0$，$g(1)=-1＜0$，$g(\frac{3}{2})=-\frac{3}{2}-4\ln\frac{1}{2}=\ln\frac{2}{\sqrt{e^{3}}}=\ln\sqrt{\frac{2}{e^{3}}}＞0$， 且当$x→2$时，$g(x)→+\infty$，$t(2)=e^{2}$，所以$t(x)=e^{x}$与$g(x)=-x - 4\ln(2 - x)$的图象在$x＜0$时有一个交点，在$0＜x＜2$时有一个交点. 综上，函数$f(x)$有两个零点.

跟踪训练3（2021·全国甲卷）已知$a＞0$且$a\neq1$，函数$f(x)=\frac{x^{a}}{a^{x}}(x＞0)$.
(1)当$a = 2$时，求$f(x)$的单调区间；
(2)若曲线$y = f(x)$与直线$y = 1$有且仅有两个交点，求$a$的取值范围.

答案： 解　
(1)当$a = 2$时，$f(x)=\frac{x^{2}}{2^{x}}(x＞0)$， $f'(x)=\frac{x(2 - x\ln 2)}{2^{x}}(x＞0)$， 令$f'(x)＞0$，则$0＜x＜\frac{2}{\ln 2}$，此时函数$f(x)$单调递增， 令$f'(x)＜0$，则$x＞\frac{2}{\ln 2}$，此时函数$f(x)$单调递减， 所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(0,\frac{2}{\ln 2})$，单调递减区间为$(\frac{2}{\ln 2},+\infty)$.
(2)曲线$y = f(x)$与直线$y = 1$有且仅有两个交点可转化为方程$\frac{x^{a}}{a^{x}}=1(x＞0)$有两个解，即方程$\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln a}{a}$有两个解. 设$g(x)=\frac{\ln x}{x}(x＞0)$， 则$g'(x)=\frac{1 - \ln x}{x^{2}}(x＞0)$， 令$g'(x)=\frac{1 - \ln x}{x^{2}}=0$，得$x = e$， 当$0＜x＜e$时，$g'(x)＞0$，函数$g(x)$单调递增， 当$x＞e$时，$g'(x)＜0$，函数$g(x)$单调递减， 故$g(x)_{max}=g(e)=\frac{1}{e}$； 且当$x＞e$时，$g(x)∈(0,\frac{1}{e})$， 又$g(1)=0$，所以$0＜\frac{\ln a}{a}＜\frac{1}{e}$， 所以$a＞1$且$a≠e$， 即$a$的取值范围为$(1,e)\cup(e,+\infty)$.