《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

6.(多选)在数列$\{a_n\}$中，若$a_n^2 - a_{n - 1}^2 = p(n\geq2,n\in\mathbf{N}^*,p$为常数)，则$\{a_n\}$称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为 （ ）
A. 若$\{a_n\}$是等差数列，则$\{a_n^2\}$是等差数列
B. 若$\{a_n\}$是等方差数列，则$\{a_n^2\}$是等差数列
C. $\{(-1)^n\}$是等方差数列
D. 若$\{a_n\}$是等方差数列，则$\{a_{kn}\}(k\in\mathbf{N}^*,k$为常数)也是等方差数列

答案： ACD　[对于A中,数列{a,}是等方差数列，可得a-a²　1=p(n≥2,n∈N,p为常数)， 　即有{a;是首项为aǐ，公差为p的等差数列，故A正确; 　对于B中，例如:数列{$\sqrt{n}$是等方差数列，但是数列(n}不是等方差数列,故B不正确; 　对于C中，数列{(-1)”)中，a-a！=[(-1)°]²-[(-1)-¹]²=0,(n≥2,n∈N), 　所以数列{(-1)”是等方差数列，故 C正确; 　对于D中,数列(a。)中的项列举出来是a1,a2，...，a,...，a2....， 　数列(akn)中的项列举出来是a,a2k,a3e,….., 　因为a²+1-a²=a²+2=a²+:=▪▪.= 　a-a-！=力, 　所以(a²+1-a;)+(a²+2-a²+1)+...+(ak-a廴-1)=kp，所以a;(x+1)= 　am=kp， 　所以数列(an)是等方差数列，故D 正确]

7.(多选)(2023·浙江联考)“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次这两种运算，最终必进入循环图$1\to4\to2\to1$. 对任意正整数$a_0$，按照上述规则实施第$n$次运算的结果为$a_n(n\in\mathbf{N})$，下列说法正确的是 （ ）
A. 当$a_0 = 7$时，则$a_{11}=5$
B. 当$a_0 = 16$时，数列$\{a_n\}$为递减数列
C. 若$a_5 = 1$，且$a_i(i = 1,2,3,4)$均不为1，则$a_0 = 5$
D. 当$a_0 = 10$时，从$a_i(i = 1,2,3,4,5,6)$中任取两个数至少一个为奇数的概率为$\frac{3}{5}$

答案： AD　[若a。=7,则a=22，a2=11，a3=34,a=17，a5=52,a5=26，a;= 　13,a8=40，a,=20，a0=10，a==5，故A选项符合题意; 　若a。=16，则a1=8，a2=4,a3=2，a:=1,as=4，易知{a目)不是递减数列，故B选项不符合题意; 　若as=1，则a4=2，a3=4，当a2=8 时，则a1=16,a。=5或32，a2=1(舍去)，故C选项不符合题意; 　若a。=10，则a1=5，a2=16，a3=8，a4=4,a5=2,a=1，所以从a，(i=1,2,3,4,5,6)中任取两个数至少一个为奇数的概率为1-$\frac{C}{C}$=$\frac{3}{5}$,故D选项符合题意.]

8.(2023·宝鸡模拟)对给定的数列$\{a_n\}(a_n\neq0)$，记$b_n=\frac{a_{n + 1}}{a_n}$，则称数列$\{b_n\}$为数列$\{a_n\}$的一阶商数列；记$c_n=\frac{b_{n + 1}}{b_n}$，则称数列$\{c_n\}$为数列$\{a_n\}$的二阶商数列；依此类推，可得数列$\{a_n\}$的$P$阶商数列$(P\in\mathbf{N}^*)$，已知数列$\{a_n\}$的二阶商数列的各项均为e，且$a_1 = 1$，$a_2 = 1$，则$a_{10}=$__________.

答案： e³⁵ 　解析　由数列{an}的二阶商数列的各项均为e，可知C开=$\frac{bm+1}{b}$=e，而b1= 　$\frac{a2}{a1}$=1, 　故数列{b。)是以1为首项,e为公比的等比数列， 　即b月=e二¹，即$\frac{an+1}{a}$=e。-¹,n∈N,即$\frac{a2}{a}$=1,$\frac{a}{az}$=e，$\frac{a}{as}$=e²,.,.,$\frac{a10}{ag}$=e⁸. 所以α1。=a1.$\frac{a2}{a1}$　$\frac{a3}{a2}$$\frac{a4}{a3}$.....$\frac{a10}{a9}$=1×1×e×e2×...×ee= 　e¹+²+..+⁸=e(1+²8)×8=e6, 　故a1。=e.

9.(2023·潍坊模拟)若项数为$n$的数列$\{a_n\}$满足：$a_i = a_{n + 1 - i}(i = 1,2,3,\cdots,n)$，我们称其为$n$项的“对称数列”. 例如：数列$1,2,2,1$为4项的“对称数列”；数列$1,2,3,2,1$为5项的“对称数列”. 设数列$\{c_n\}$为$2k + 1$项的“对称数列”，其中$c_1,c_2,\cdots,c_{k + 1}$是公差为2的等差数列，数列$\{c_n\}$的最大项等于8，记数列$\{c_n\}$的前$2k + 1$项和为$S_{2k + 1}$，若$S_{2k + 1}=32$，则$k =$__________.

答案： 3或4 　解析　由题意，Ck+！=8， 　又C1,C2,...，Ck+1是公差为2的等差数列， 　故c！+2k=8,则c1=8-2k,ck=C+1 -2=6. 　又S2k+1=32，故2(c1+C2+...+ck) 　÷Cx+=32，即C1+C2+...+Ck=12,由等差数列前n项和公式有$\frac{k(8-2k+6)}{2}$=12， 　化简得k²-7k+12=0， 　解得k=3或k=4.

10.(2023·沈阳模拟)已知数列$\{a_n\}$，令$b_k$为$a_1,a_2,\cdots,a_k$中的最大值$(k = 1,2,\cdots,n)$，则称数列$\{b_n\}$为$\{a_n\}$的“控制数列”，$\{b_n\}$中不同数的个数称为“控制数列”$\{b_n\}$的“阶数”. 例如：$\{a_n\}$为$1,3,5,4,2$，则“控制数列”$\{b_n\}$为$1,3,5,5,5$，其“阶数”为3，若$\{a_n\}$由$1,2,3,4,5$任意顺序构成，则使“控制数列”$\{b_n\}$的“阶数”为2的所有$\{a_n\}$的个数为________.

答案： 50 　解析　当{b。)由1,5构成时，则a1= 　1,a2=5,a3,a4,as为2,3,4的一个排列，故满足条件的数列{an)有 　 A=6(个); 　当(bn)由2,5构成时，则a1=2，a2= 　5.a3,a;,a5为1,3,4的一个排列，或a=2，a2=1，a3=5，a4,as为3,4 的一个排列， 　故满足条件的数列{a开)有 　 A+A=8(个); 　当{b)由3,5构成时，则a1=3，a2，a3,a4,a;为1,2,4,5的一个排列，且数字4排在5的后面， 　故满足条件的数列{a)有$\frac{A}{2}$=12(个);当{bn)由4,5构成时，则a1=4，a2,a3,a4,a5为1,2,3,5的一个排列，故满足条件的数列{a)有A=24(个).由分类加法计数原理可得满足条件的数列(a。)共有50个.