《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例 1 (1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量 $\boldsymbol{n}$ 为平面 $\alpha$ 的一个法向量，向量 $\boldsymbol{m}$ 为直线 $l$ 的一个方向向量，则 $\boldsymbol{m}//\boldsymbol{n}$ 是 $l\perp\alpha$ 的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
(2)在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，“$a_{1}＞0$，且公比 $q ＞ 1$”是“$\{a_{n}\}$ 为递增数列”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案：
(1)C 　
(2)A　[当$a_1＞0$，且$q＞1$时，有$a_{n + 1} - a_{n}=a_{1}q^{n}-a_{1}q^{n - 1}=a_{1}q^{n - 1}(q - 1)＞0$。所以$a_{n + 1}＞a_{n}(n\in N^{*})$，即$\{a_{n}\}$为递增数列；当$\{a_{n}\}$为递增数列时，即对一切$n\in N$，有$a_{n + 1}＞a_{n}$恒成立，所以$a_{n + 1}-a_{n}=a_{1}q^{n - 1}(q - 1)＞0$，但$a_{1}＜0$且$0＜q＜1$时，上式也成立，显然无法得出$a_{1}＞0$，且$q＞1$。则“$a_{1}＞0$，且公比$q ＞ 1$”是“$\{a_{n}\}$为递增数列”的充分不必要条件。]

跟踪训练 1 (1)(2024·贵阳模拟)已知函数 $f(x)=\cos(2x+\varphi)$，则“$\varphi=\frac{\pi}{2}$”是“$f(x)$ 是奇函数”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
(2)当命题“若 $p$，则 $q$”为真命题，则“由 $p$ 可以推出 $q$”，即一旦 $p$ 成立，$q$ 就成立，$p$ 是 $q$ 成立的充分条件. 也可以这样说，若 $q$ 不成立，那么 $p$ 一定不成立，$q$ 对 $p$ 成立也是很必要的. 王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”. 从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的 （ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案：
(1)A　
(2)B

例 2 在①“$x\in A$”是“$x\in B$”的充分条件；②“$x\in\complement_{\mathbf{R}}A$”是“$x\in\complement_{\mathbf{R}}B$”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题.
问题：已知集合 $A = \{x|a\leqslant x\leqslant a + 2\}$，$B = \{x|(x + 1)(x - 3)＜0\}$.
(1)当 $a = 2$ 时，求 $A\cap B$；
(2)若________，求实数 $a$ 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

答案： 解　
(1)由$(x + 1)(x - 3)＜0$，解得$-1＜x＜3$，所以$B = \{x|-1＜x＜3\}$。当$a = 2$时，$A = \{x|2\leqslant x\leqslant 4\}$，所以$A\cap B = \{x|2\leqslant x＜3\}$。
(2)选①“$x\in A$”是“$x\in B$”的充分条件，则$A\subseteq B$，所以$\begin{cases}a＞ - 1\\a + 2＜3\end{cases}$，解得$-1＜a＜1$，即$a\in(-1,1)$； 选②“$x\in\complement_{\mathbf{R}}A$”是“$x\in\complement_{\mathbf{R}}B$”的必要条件，则$A\subseteq B$，所以$\begin{cases}a＞ - 1\\a + 2＜3\end{cases}$，解得$-1＜a＜1$，即$a\in(-1,1)$。

典例 已知命题 $p:|x|\leqslant1$，$q:x ＜ a$，若 $\neg q$ 是 $\neg p$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围为________.

答案： $(1,+\infty)$ 解析　由$|x|\leqslant1$，即$-1\leqslant x\leqslant1$，由题意知$p$是$q$的充分不必要条件，所以$a＞1$。