《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

典例 (1)(多选)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x + y)=f(x)+f(y)$，当$x\gt0$时，$f(x)\gt0$，且满足$f(2)=1$，则下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)$为奇函数
B. $f( - 2)= - 1$
C. 不等式$f(2x)-f(x - 3)\gt - 2$的解集为$(-5,+\infty)$
D. $f( - 2024)+f( - 2023)+\cdots + f(0)+\cdots + f(2023)+f(2024)=2023$
(2)已知$f(x),g(x)$都是定义在$\mathbf{R}$上的函数，对任意$x,y$满足$f(x - y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)$，且$f( - 2)=f(1)\neq0$，则下列说法正确的是（ ）
A. $f(0)=1$
B. 函数$g(2x + 1)$的图象关于点$(1,0)$对称
C. $g(1)+g( - 1)=0$
D. 若$f(1)=1$，则$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots + f(2023)=1$

答案：
(1)AB　[对于A,令x=y= 　0,可得f(O)=∮
(0)+f(O)=2f
(0)，所以∮
(0)=0， 　令y=一x，得到∮(-x)+∮(x)= 　f
(0)=0，即f(-x)=-f(x), 　所以f(x)为奇函数，故A正确; 　对于B,因为f(x)为奇函数， 所以∮(-2)=-f
(2)=-1，故B 正确; 对于C,设x1＞x2,x=x1.y=-x2,ff)=n0%²+f泛)2;=f(x1-x2), 又因为x1＞x2，所以x1-x2＞0, 所以f(x1-x2)＞0, 即f(x！)＞f(x2), 所以f(x)在R上单调递增， 因为f(-2)=-1，所以f(-4)= f(-2-2)=2f(-2)=-2, 由f(2x)-f(x-3)＞-2， 可得f(2x)＞f(x-3)+f(-4)，所以f(2x)＞∮(x-3-4)=f(x-7),所以2x＞x-7,得到x＞-7, 所以f(2x)-f(x-3)＞-2的解集为(-7,+8)，故C错误; 对于D,因为f(x)为奇函数， 所以f(一x)+f(x)=0， 所以f(-2024)+f
(2024)= f(-2023)+f
(2023)　　　f(-1) +f
(1)=0, 又∮
(0)=0， 故∮(-2024)+f(-2023)÷...十f
(0)+...+f
(2023)+f
(2024)=0,故D错误.]
(2)D　[对于A,令x=y=0，代入已知等式得f
(0)=f
(0)g(
(0)一g
(0)f
(0) =0,得f
(0)=0，故A错误; 对于B,取f(x)=sin23元x,g(x)=cos23πx,满足f(x-y)=f(x)g(y)一g(x)f(y)及∮(-2)=f
(1)≠0,因为g
(3)=cos2π=1≠0，所以g(x) 的图象不关于点(3.0)对称，所以函数g(2x+1)的图象不关于点(1,0)对称，故B错误; 对于C,令y=0，x=1，代入已知等式得f
(1)=f
(1)g
(0)-g
(1)∮
(0)，可得∮
(1)[1-g
(0)]=-g
(1)f
(0)=0,结合f
(1)≠0得1-g
(0)=0, g
(0)=1, 再令x=0，代入已知等式得 　(一y)=f
(0)g(y)一g
(0)f(y),f
(0)=0，g
(0)=1代入上式，得(-y)=-f(y), 　以函数∮(x)为奇函数。 　x=1,y=-1，代入已知等式，得 　
(2)=f
(1)g(-1)一g
(1)f(-1)，为f(-1)=-f
(1)， 所以f
(2)=f
(1)[g(-1)+g
(1)],又因为f
(2)=-f(-2)=一f
(1)，所以一f
(1)=f
(1)[g(-1)+g
(1)],因为f
(1)≠0，所以g
(1)÷g(-1)= -1，故C错误; 对于D,分别令y=-1和y=1，代入已知等式，得以下两个等式:f(x+1) =f(x)g(-1)-g(x)f(-1),f(x-1)=f(x)g
(1)-g(x)f
(1),两式相加易得f(x+1)+f(x-1)= 一f(x), 所以f(x+2)+f(x)=-f(x+1)，即f(x)=-∮(x+1)-∮(x+2)，有一f(x)+f(x)=∮(x+1)+f(x-1) -f(x+1)-f(x+2)=0, 即f(x-1)=f(x+2)， 所以f(x)为周期函数，且一个周期为3， 因为f
(1)=1，所以f(-2)=1, 所以f
(2)=一f(-2)=-1， ∮
(3)=f
(0)=0, 所以f
(1)+∮
(2)+f
(3)=0， 所以””f(n)=f
(11)+f
(2)+f
(3)+...+f(¹2023)=f
(2023)=∮
(1)=1.故D正确]

跟踪训练2 (1)已知函数$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x\geqslant0$时，$f(x)=e^x + x + m$，则$f( - 1)$等于（ ）
A. e B. -e C. e + 1 D. -e - 1
(2)若$f(x)=\sin x + x^3 + x$，则不等式$f(x + 1)+f(2x)\gt0$的解集是（ ）
A. $(\frac{1}{3},+\infty)$ B. $(1,+\infty)$
C. $(-\frac{1}{3},+\infty)$ D. $(-\infty,\frac{1}{3})$
(3)(2023·新高考全国Ⅱ)若$f(x)=(x + a)\cdot\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$为偶函数，则$a$等于（ ）
A. -1 B. 0 C. $\frac{1}{2}$ D. 1

答案：
(1)B　
(2)C 　
(3)B　[方法　　　因为f(x)为偶函数，则f
(1)=f　(-1)， 　　　　　　$\frac{)}{f}$ 　即(1÷a)ln$\frac{1}{3}$=(-1+a)1n3， 　解得a=0. 　当a=0时，∮(x)=x1n$\frac{2x-1}{2.x+1}$. 　由(2x-1)(2x+1)＞0， 　解得x＞$\frac{1}{2}$或x＜一$\frac{1}{2}$,则其定义域为{x|x＞$\frac{1}{2}$或x＜-$\frac{1}{2}${,关于原点对称. 　∮(-x)=(-x)ln22((一一xx))-+11= 　　　　　　　　　　　　　　-1 (一x)1n$\frac{2+1}{2.-1}$=(-x)1n($\frac{2x-1}{2.+1}$) 　=x1n$\frac{2x-1}{2x+1}$=f(x)， 　此时f(x)为偶函数，符合题意. 　故a=0. 　方法二　设g(x)=1n$\frac{2x-1}{2.x+1}$, 　易知　g　(x)　的定义域为(-∞,-$\frac{1}{2}$)U($\frac{1}{2}$,+∞), 　且g(-x)=1n$\frac{-2x-1}{-2.x+1}$=1n22xx÷-11= 　-1n$\frac{2.-1}{2x+1}$=一g(x), 　所以g(x)为奇函数， 　若f(x)=(x+a)ln$\frac{2x-1}{2x+1}$为偶函数，则y=x十a也应为奇函数， 　所以a=0.]

例4 (1)(2024·安康统考)设$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的偶函数，且$f(2 + x)=f( - x)$，$f(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$，则$f(\frac{9}{2})$等于（ ）
A. $-\frac{3}{2}$ B. $-\frac{1}{2}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{3}{2}$
(2)(2023·泸州模拟)已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$的图象关于$y$轴对称，且周期为$3$，又$f( - 1)=1$，$f(0)= - 2$，则$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots + f(2025)$的值是（ ）
A. 2024 B. 2023 C. 1 D. 0

答案：
(1)C　[因为f(x)是定义域为R 的偶函数，所以f(-x)=f(x), 　故f(2+x)=f(-x)=∮(x)， 　所以f(x)的一个周期为2， 　故f($\frac{9}{2}$)=f($\frac{9}{2}$-4)=f($\frac{1}{2}$)= 　∮(-$\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{2}$.] 　
(2)D　[因为f(x)的周期为3， 　f(-1)=1，则f
(2)=f(-1+3)= 　f(-1)=1， 　又f
(0)=-2，则f
(3)=∮(0+3)= 　　
(0)=-2, 　　为函数f(x)在R上的图象关于y 对称， 　　以f(x)为偶函数， 　　f
(1)=f(-1)=1， 　　∮
(1)+f
(2)+f
(3)=0. 　　∮
(1)+∮
(2)+∮
(3)+...+f
(2025)=675×0=0.]

跟踪训练3 (多选)(2023·深圳模拟)已知非常数函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，满足$f(x + 2)+f(x)=0$，$f( - x)= - f(x)$，则（ ）
A. $f(2)=0$
B. $f(x + 4)$为偶函数
C. $f(x)$为周期函数
D. $f(x)$的图象关于点$( - 4,0)$对称

答案： ACD　[因为f(x+2)+f(x)=0, 　所以f(x)=一∮(x+2)，f(x+4)= 　-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的一个周期是4，故C正确; 　又f(一x)=-∮(x)， 　所以f(x)为奇函数，f(O)=0, 　所以f
(2)+∮(O)=0，即f
(2)=0，故 A正确; 　又f(x)的一个周期为4，且为奇函数，所以f(x÷4)为奇函数，故B不正确;因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(-4,0)对称，故D正确]