《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1. 已知函数$f(x)=\ln x - ax(a\in\mathbf{R})$.
(1)讨论函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上的单调性；
(2)证明：$e^{x}-e^{2}\ln x＞0$恒成立.

答案：
(1)解　f(x)的定义域为(0，+∞),f,(x)=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$, 　当a≤0时,f(x)＞o,∮(x)在((0,+∞) 　上是增函数， 　当a＞0时，令f,(x)=0,得x=$\frac{1}{a}$，
∴当x∈(0,$\frac{1}{a}$)时，f(x)＞0; 　当x∈($\frac{1}{a}$,+∞)时，∮,(x)＜0,
　
∴f(x)在(0,$\frac{1}{a}$)上单调递增，在($\frac{1}{a}$,+8)上華调递减. 　
(2)证明　要证e-e²1nx＞0, 　即证e¹-²＞lnx， 　令
∴亏((xx))==ce²--x1.-1, 　令'(x)=0，得x=0，
　
∴当x∈(-00,0)时,'(x)＜0;当x ∈(0,+∞)时，4²(x)＞0,
　
∴好(x)在(-⁸。,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
　
∴好(x)mn=￠
(0)=0, 　即e-x-1≥0，即e≥x+1，当且仅当x=0时取等号, 　同理可证1nx≤x-1,当且仅当x=1 时取等号 　由e≥x+1(当且仅当x=0时取等号)，可得e²²≥x-1(当且仅当x=2时取等号)， 　又x-1≥1nx(当且仅当x=1时取等号),
∴eI-²≥x-1≥1nx且两等号不能同时成立， 　故e-²＞1nx.即原不等式成立.

2. (2024·遂宁模拟)已知函数$f(x)=a(x + 1)-\frac{x + 3}{e^{x}},x\in\mathbf{R}$.
(1)若$f(x)$是减函数，求实数$a$的取值范围；
(2)若$f(x)$有两个极值点$x_{1},x_{2}$，其中$x_{1}＜x_{2}$，
求证：$x_{2}-x_{1}＞\frac{2a}{e}+2$.

答案：

(1)解　由题意知∮,(x)=a+$\frac{x+2}{e}$ 　≤0在R上恒成立， 　所以一a≥$\frac{x+2}{e}$恒成立， 　令g(x)=$\frac{x+2}{e}$,x∈R, 　则一a≥g(x)max， 　令g'(x)=-$\frac{x+1}{e}$=0，得x=-1，当x∈(-∝,-1)时,g,(x)＞0,g(x)单调递增; 　当x∈(-1，+∞)时，g、(x)＜0,g(x)单调递减， 　所以g(x)mx=g(-1)=e， 　即一a≥e,a∈(-∞,-e]. 　
(2)证明　由f(x)有两个极值点x,x2,可知f²(x)=0有两个不相等的实数根x,x2, 由
(1)可知,当x→十∞时,g(x)→0，且g(-2)=0，则g(x)的图象如图所示, 所以一e＜a＜0且-2＜x＜-1＜x2,又过点(-2，0)和(-1,e)的直线方程为y=e(x+2)， 当x∈(-2,-1)时，构造函数h(x) =g(x)-e(x+2)=$\frac{x+2}{e}$一e(x+2) =(x+2)($\frac{1}{e}$-e)＞0, 所以g(x)＞e(x+2). 设方程e(x+2)=-a的根为工3;即e(x3+2)=g(x;)＞e(x²+2)，得x3＞x1，且x3=一$\frac{a}{e}$-2， 过点(-1,e)和(0,0)的直线方程为y =-ex， 设m(x)=g(x)+ex=$\frac{x+2}{e}$÷ex,x ∈(-1.+8), 因为m'(x)=$\frac{e+1-(x+1)}{e}$＞0. 所以m(x)在(-1，+8)上单调递增，所以m(x)＞m(-1)=0， 则g(x)＞-ex， 设方程-er=-a的根为x, 即-ex4=g(x2)＞-ex2, 得x＜x2,且x3=$\frac{a}{e}$, 所以x2-x1＞x4-x3=$\frac{a}{e}$-(-$\frac{a}{e}$-2) =$\frac{2a}{e}$+2.