《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1（2023·唐山模拟）已知函数$f(x)=xe^{2 - x}$.
(1)求$f(x)$的极值；
(2)若$a＞1$，$b＞1$，$a\neq b$，$f(a)+f(b)=4$，证明：$a + b＜4$.

答案： 例1
(1)解　因为f　(x)=xe²-x， 　所以f,(x)=(1　x)e²-x, 　由f,(x)＞0，解 　　　　　　　$\frac{f}{得}$ 　　　　　　　　x＜1;由f'(x)＜0.解得x＞1, 　所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减， 　又f
(1)=e， 　所以∮(x)在x=1处取得极大值e,无极小值.
(2)证明　由
(1)可知，f(x)在(1,+0) 上单调递减,f
(2)=2, 且a＞1,b＞1,a≠b,f(a)+f(b)=4，不妨设1＜a＜2＜b,要证a+b＜4,只而需b＞证26.＜2＜4-4aa＜3，且f(x)在(1,十8)上单调递减, 所以只需证f(b)＞f(4-a)， 即证4-f(a)＞f(4-a)， 即证f(a)+f(4-a)＜4 即证当1＜x＜2时，∮(x)+f(4-x) ＜4, 令F(x)=f(x)+∮(4-x)，1＜x＜2,则F,(x)=f、(x)-f'(4-x) =(1-x)e²-r-e²(x-3), 令h(x)=(1-x)e²-工-e-²(x-3)，1＜x＜2, 则h,(x)=e²x(x-2)-e-²(x-2) =(x-2)(e²二r-ex²), 因为1＜x＜2,所以x-2＜0,e²r-e-²＞0, 所以h,(x)＜0, 即h(x)在(1,2)上单调递减， 则h(x)＞h
(2)=0，即F,(x)＞0,所以F(x)在(1,2)上单调递增， 所以F(x)＜F
(2)=2f
(2)=4， 即当1＜x＜2时,f(x)+f(4-x)＜4,所以原命题成立.