《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练 2 从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合 $A = \{x|\frac{1}{4}\leqslant2^{x}\leqslant32\}$，$B = \{x|x^{2}-4x + 4 - m^{2}\leqslant0,m\in\mathbf{R}\}$.
(1)若 $m = 3$，求 $A\cup B$；
(2)若存在正实数 $m$，使得“$x\in A$”是“$x\in B$”成立的________，求正实数 $m$ 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

答案： 解　
(1)依题意，得$2^{-2}\leqslant2^{x}\leqslant2^{5}$，解得$-2\leqslant x\leqslant5$，即$A = \{x|-2\leqslant x\leqslant5\}$。当$m = 3$时，解不等式$x^{2}-4x - 5\leqslant0$，得$-1\leqslant x\leqslant5$，即$B = \{x|-1\leqslant x\leqslant5\}$，所以$A\cup B = \{x|-2\leqslant x\leqslant5\}$。
(2)选①，由
(1)知，$A = \{x|-2\leqslant x\leqslant5\}$，$m＞0$。解不等式$x^{2}-4x + 4 - m^{2}\leqslant0$，得$2 - m\leqslant x\leqslant2 + m$，即$B = \{x|2 - m\leqslant x\leqslant2 + m\}$。因为“$x\in A$”是“$x\in B$”成立的充分不必要条件，则有$A\subsetneqq B$，于是得$\begin{cases}2 - m＜ - 2\\2 + m\geqslant5\end{cases}$，或$\begin{cases}2 - m\leqslant - 2\\2 + m＞5\end{cases}$，解得$m＞4$或$m\geqslant4$，即有$m\geqslant4$，所以正实数$m$的取值范围是$m\geqslant4$。 选②，由
(1)知，$A = \{x|-2\leqslant x\leqslant5\}$，$m＞0$。解不等式$x^{2}-4x + 4 - m^{2}\leqslant0$，得$2 - m\leqslant x\leqslant2 + m$，即$B = \{x|2 - m\leqslant x\leqslant2 + m\}$。因为“$x\in A$”是“$x\in B$”成立的必要不充分条件，则有$B\subsetneqq A$，于是得$-2＜2 - m＜2 + m\leqslant5$或$-2\leqslant2 - m＜2 + m＜5$，解得$0＜m\leqslant3$，所以正实数$m$的取值范围是$0＜m\leqslant3$。

例 3 (1)(多选)下列说法正确的是 （ ）
A. “正方形是菱形”是全称量词命题
B. $\exists x\in\mathbf{R},e^{x}＜ex + 1$
C. 命题“$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}-2x + 3 = 0$”的否定为“$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}-2x + 3\neq0$”
D. 命题“$\forall x ＞ 1$，都有 $2x + 1＞5$”的否定为“$\exists x\leqslant1$，使得 $2x + 1\leqslant5$”
(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：______________________________.

答案：
(1)ABC 　
(2)至少有一个实数是无理数

例 4 (多选)下列命题中的真命题是 （ ）
A. $\forall x\in\mathbf{R},2^{x - 1}＞0$
B. $\forall x\in\mathbf{N}^{*},(x - 1)^{2}＞0$
C. $\exists x\in\mathbf{R},\lg x＜1$
D. $\exists x\in\mathbf{R},\tan x = 2$

答案： ACD[指数函数的值域为$(0, +\infty)$，所以$\forall x\in\mathbf{R},2^{x - 1}＞0$，故A正确；当$x = 1$时，$(x - 1)^{2}=0$，所以$\forall x\in\mathbf{N}^{*},(x - 1)^{2}＞0$是假命题，故B 错误；当$x = 1$时，$\lg x = 0＜1$，所以$\exists x\in\mathbf{R},\lg x＜1$，故C正确；函数$y = \tan x$的值域为$\mathbf{R}$，所以$\exists x\in\mathbf{R},\tan x = 2$，故D正确]

例 5 (1)若命题“$\forall x\in[-1,2],x^{2}+1\geqslant m$”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是 （ ）
A. $(-\infty,0]$
B. $(-\infty,1]$
C. $(-\infty,2]$
D. $(-\infty,5]$
(2)(多选)命题 $p:\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+2x + 2 - m＜0$ 为假命题，则实数 $m$ 的取值可以是 （ ）
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $2$

答案：
(1)B　[由“$\forall x\in[-1,2],x^{2}+1\geqslant m$”是真命题可知，不等式$m\leqslant x^{2}+1$，对$x\in[-1,2]$恒成立，因此只需$m\leqslant(x^{2}+1)_{min}$，$x\in[-1,2]$，易知函数$y = x^{2}+1$在$x\in[-1,2]$上的最小值为$1$，所以$m\leqslant1$，即实数$m$的取值范围是$(-\infty,1]$。]
(2)ABC　[若命题$p:\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+2x + 2 - m＜0$为真命题，则$\Delta = 2^{2}-4(2 - m)=4m - 4＞0$，解得$m＞1$，所以当命题$p:\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+2x + 2 - m＜0$为假命题时，$m\leqslant1$，符合条件的为A、B、C选项。]

跟踪训练 3 (1)下列命题为真命题的是 （ ）
A. 任意两个等腰三角形都相似
B. 所有的梯形都是等腰梯形
C. $\forall x\in\mathbf{R},x + |x|\geqslant0$
D. $\exists x\in\mathbf{R},x^{2}-x + 1 = 0$
(2)(多选)已知命题 $p:\forall x\in[0,1]$，不等式 $2x - 2\geqslant m^{2}-3m$ 恒成立，命题 $q:\exists x\in[1,3]$，不等式 $x^{2}-ax + 4\leqslant0$，则下列说法正确的是 （ ）
A. 命题 $p$ 的否定是“$\exists x\in[0,1]$，不等式 $2x - 2＜m^{2}-3m$”
B. 命题 $q$ 的否定是“$\forall x\in[1,3]$，不等式 $x^{2}-ax + 4\geqslant0$”
C. 当命题 $p$ 为真命题时，$1\leqslant m\leqslant2$
D. 当命题 $q$ 为假命题时，$a＜4$

答案：
(1)C　
(2)ACD