《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

2.（必修第二册P60T8改编）已知向量$\boldsymbol{m}=(2x,1)$与向量$\boldsymbol{n}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$垂直，则$x$等于 （ ）


A. $\frac{1}{4}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $-\frac{1}{2}$

答案： C　[
∵m=(2x,1)与n=($\frac{1}{2}$，一$\frac{1}{2}$) 垂直,
∴m.n=(2x,1).($\frac{1}{2}$,一$\frac{1}{2}$)= r一$\frac{1}{2}$=0，即x=$\frac{1}{2}$.]

3.（2023·郑州模拟）已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\vert\boldsymbol{b}\vert = 2\vert\boldsymbol{a}\vert = 2$，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{2\pi}{3}$，则$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}$等于 （ ）
A. 12
B. 4
C. 3
D. 1

答案： D　[因为|b|=2|a|=2, 所以(2a+b).a=2a²+a.b =2|a|²+|a||b|.cos$\frac{2π}{3}$ =2+2×1×(-$\frac{1}{2}$)=1.]

4.（必修第二册P18例10改编）已知$\boldsymbol{a}=(1,\sqrt{2})$，$\vert\boldsymbol{b}\vert = 2\sqrt{3}$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = - 3$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为________.

答案： 120° 解析　设a与b的夹角为日， 因为a=(1$\sqrt{2}$),|b|=2$\sqrt{3}$, a▪b=-3, 所以COSθ=$\frac{a▪b}{|a｜b|}$=$\frac{-3}{3×2√3}$=一$\frac{1}{2}$,因为0。≤0≤180°，所以θ=120°， 即a与b的夹角为120°.

例1 (1)（2023·安康模拟）已知四边形$ABCD$为平行四边形，$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{3}$，$\vert\overrightarrow{AD}\vert = 2$，$\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{NC}$，$\overrightarrow{BM}=3\overrightarrow{MC}$，则$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{NM}$等于 （ ）
A. 7 B. 1 C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{1}{4}$
(2)在梯形$ABCD$中，$AB// DC$，$AD\perp DC$，$AD = AB = 2DC = 2$，$E$为$BC$的中点，$F$为$AE$的中点，则$\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{DF}$等于 （ ）
A. $\frac{31}{16}$ B. $\frac{33}{16}$ C. $\frac{35}{16}$ D. $\frac{37}{16}$

答案：

(1)D　[如$\frac{AM}{BM}$$\frac{1(}{AM}$)1).$\frac{D}{NM}$($\frac{M}{NC}$[如十(逻$\frac{B}{CM}$;) =(AB+$\frac{3}{4}$BC).($\frac{1}{3}$AB-$\frac{1}{4}$BC) =$\frac{1}{3}$AB-$\frac{3}{16}$BC²=$\frac{1}{3}$×3-$\frac{3}{16}$×4 =$\frac{1}{4}$.]
(2)B　[以A为坐 标原点,建立如图 标系， 则A(0,0)，B(2,0)， C(1,2),D(0,2), E($\frac{3}{2}$,1),F($\frac{3}{4}$,$\frac{1}{2}$), 所以CF=(-$\frac{1}{4}$，一$\frac{3}{2}$), DF=($\frac{3}{4}$,一$\frac{3}{2}$), 所以.DF=-$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{4}$+(-$\frac{3}{2}$)×(-$\frac{3}{2}$)=$\frac{33}{16}$.]

跟踪训练1 (1)如图，在直角梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB\perp BC$，$AB = BC = 2$，$AD = 1$，点$E$在边$AB$上，且$\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CE}=3$，则$BE$等于 （ ）

A. 1 B. 2 C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{3}{2}$
(2)（2023·唐山模拟）如图，在平行四边形$ABCD$中，$AB = 2$，$\angle BAD=\frac{\pi}{3}$，$E$是边$BC$的中点，$F$是$CD$上靠近$D$的三等分点，若$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF}=8$，则$\vert\overrightarrow{AD}\vert$等于 （ ）

A. 4 B. $4\sqrt{2}$ C. $4\sqrt{3}$ D. 8

答案：
(1)C　
(2)A

例2 （2023·新高考全国Ⅰ）已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{3}$，$\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert=\vert2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert$，则$\vert\boldsymbol{b}\vert=$______.

答案： $\sqrt{3}$ 解析　方法一　因为|a+b|={2a-b|，即(a+b)²=(2a-b)², 则a²+2a▪b+b²=4a²-4a.b+b²,整理得a²-2a▪b=0， 又因为|a-b|=$\sqrt{3}$, 即(a-b)²=3, 则a²-2a▪b+b²=b²=3， 所以1b|=$\sqrt{3}$ 方法二　设C=a-b， 则|c|=$\sqrt{3}$，a+b=c+2b, 2a-b=2c+b， 由题意可得，(C+2b)²=(2c+b)²,则c²+4c.b+4b²=4c²+4c.b+b²,整理得c²=b²，即|b|=|c|=$\sqrt{3}$

例3 （2023·深圳模拟）已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$为单位向量，且$\vert3\boldsymbol{a}-5\boldsymbol{b}\vert = 7$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$的夹角为 （ ）
A. $\frac{\pi}{3}$
B. $\frac{2\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{6}$
D. $\frac{5\pi}{6}$

答案： C　[因为a,b为单位向量， 由|3a-5b|=7,所以(3a-5b)²=49 9a-30a▪b+25b²=49, 即9-30a.b+25=49→a▪b=-$\frac{1}{2}$，设a与a-b的夹角为θ， 则cosθ=$\frac{a▪(a-b)}{|a｜la-b|}$ =$\frac{a²-a.b}{|a|×\sqrt{(a-b)²}}$ $\frac{1}{2}$ =　　　　　　　　　　=$\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$ $\frac{(1/2)}{\sqrt{1-2x(-1/2)+1}}$ 又0∈[0,π],所以θ=.]

例4 （2023·新高考全国Ⅰ）已知向量$\boldsymbol{a}=(1,1)$，$\boldsymbol{b}=(1,-1)$，若$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})$，则 （ ）
A. $\lambda+\mu = 1$
B. $\lambda+\mu = - 1$
C. $\lambda\mu = 1$
D. $\lambda\mu = - 1$

答案： D　[因为a=(1,1),b=(1，-1)，所以a+xb=(1+λ,1-λ), a+ub=(1+u,1-江), 由(a+λb)⊥(a+μb), 可得(a+λb).(a+μb)=0, 即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得xu=-1.]

例5 (1)已知向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，$\vert\boldsymbol{a}\vert = 2$，$\vert\boldsymbol{b}\vert = 1$，则向量$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为 （ ）
A. $\boldsymbol{b}$ B. $\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$ C. $\boldsymbol{a}$ D. $\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$
(2)已知非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\boldsymbol{b}=(\sqrt{3},1)$，$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{3}$，若$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a}$，则向量$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$方向上的投影向量的坐标为____________.

答案：
(1)A　[由题意知，|a|=2，且向量a与b的夹角为$\frac{π}{3}$， 所以向量a在b上的投影向量为 |a|cos＜a,b)$\frac{b}{b|}$=b.]
(2)($\frac{\sqrt{3}}{4}$,$\frac{1}{4}$) 解析　由已知可得， |b|=$\sqrt{(\sqrt{3})+1²}$=2. 因为(a-b)⊥a， 所以(a-b).a=a²-a▪b=|a|²-|a||b|cos=|a|²-|a|=0, 解得|a|=1或|a|=0(舍去)。 量a在b方向上的投影向量为所 = /.$\frac{b}{bl}$　$\frac{1}{4}$b,坐标为($\frac{\sqrt{3}}{4}$,$\frac{1}{4}$).