《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

2. (选择性必修第一册P109T1改编)若椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1$上一点$P$与焦点$F_1$的距离为$4$，则点$P$与另一个焦点$F_2$的距离为 ( )
A. 6
B. 3
C. 4
D. 2

答案： A

3. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$的一个焦点为$(2,0)$，则$C$的离心率为 ( )
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

答案： C

4. (选择性必修第一册P116T12改编)若椭圆$C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为 ( )

A. 3
B. $2+\sqrt{3}$
C. 2
D. $\sqrt{3}+1$

答案： A

(1)已知圆$C_1:(x + 1)^{2}+y^{2}=25$，圆$C_2:(x - 1)^{2}+y^{2}=1$，动圆$M$与圆$C_2$外切，同时与圆$C_1$内切，则动圆圆心$M$的轨迹方程为 ( )
A. $\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$
B. $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
C. $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$
D. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$

答案： D　[如图， 　由题意得，$\vert C_1M\vert =5-\vert MQ\vert$，$\vert C_2M\vert =1+\vert MP\vert$，其中$\vert MQ\vert=\vert MP\vert$， 　所以$\vert C_1M\vert+\vert C_2M\vert =5-\vert MQ\vert+1+\vert MP\vert=6＞2=\vert C_1C_2\vert$； 　由椭圆定义可知，动圆圆心$M$的轨迹为以$C_1,C_2$为焦点且长轴长为$6$的椭圆，设$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，则$2a = 6$，$c = 1$，解得$a = 3$，$b^{2}=a^{2}-c^{2}=9 - 1 = 8$，故动圆圆心$M$的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$.]

(2)(2023·眉山模拟)已知$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上的点，$F_1,F_2$分别是椭圆的左、右焦点，若$\frac{\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}}{\vert\overrightarrow{PF_1}\vert\vert\overrightarrow{PF_2}\vert}=\frac{1}{2}$，则$\triangle F_1PF_2$的面积为_______.

答案： 3\sqrt{3}

(1)(2023·郑州模拟)若$F_1,F_2$分别为椭圆$C:\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点，$A,B$为$C$上两动点，且$A,B,F_1$三点共线，则$\triangle ABF_2$的周长为 ( )
A. 4
B. 8
C. 10
D. 20

答案： D

(2)(2024·哈尔滨模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容.例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图).
步骤1：设圆心是$E$，在圆内异于圆心处取一点，标记为$F$；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点$F$；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕.圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为$C$.
现有半径为4的圆形纸片，定点$F$到圆心$E$的距离为2，按上述方法折纸，在$C$上任取一点$M$，$O$为线段$EF$的中点，则$\vert OM\vert$的最小值为_______.

答案： 3

(1)过点$(3,2)$且与椭圆$3x^{2}+8y^{2}=24$有相同焦点的椭圆方程为 ( )
A. $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{10}=1$
B. $\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{15}=1$
C. $\frac{x^{2}}{15}+\frac{y^{2}}{10}=1$
D. $\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{5}=1$

答案： C