《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练3 (1)(2024·郑州模拟)函数$f(x)$的图象如图所示，设$f(x)$的导函数为$f'(x)$，则$f(x)\cdot f'(x)＞0$的解集为 ( )

A.$(1,6)$
B.$(1,4)$
C.$(-\infty,1)\cup(6,+\infty)$
D.$(1,4)\cup(6,+\infty)$

答案： D

(2)已知函数$f(x)=(1 - x)\ln x + ax$在$(1,+\infty)$上不单调，则$a$的取值范围是 ( )
A.$(0,+\infty)$
B.$(1,+\infty)$
C.$[0,+\infty)$
D.$[1,+\infty)$

答案： A

1. 函数的极值
（1）函数的极小值
函数$y = f(x)$在点$x = a$处的函数值$f(a)$比它在点$x = a$附近其他点处的函数值都小，$f'(a)=0$；而且在点$x = a$附近的左侧______，右侧______，则$a$叫做函数$y = f(x)$的极小值点，$f(a)$叫做函数$y = f(x)$的极小值.
（2）函数的极大值
函数$y = f(x)$在点$x = b$处的函数值$f(b)$比它在点$x = b$附近其他点处的函数值都大，$f'(b)=0$；而且在点$x = b$附近的左侧______，右侧______，则$b$叫做函数$y = f(x)$的极大值点，$f(b)$叫做函数$y = f(x)$的极大值.
（3）极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为______.

答案：
(1)f(x)＜0f(x)＞0
(2)f'(x)＞0 f(x)＜0　
(3)极值点　极值

2. 函数的最大（小）值
（1）函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有最值的条件：
如果在区间$[a,b]$上函数$y = f(x)$的图象是一条______的曲线，那么它必有最大值和最小值.
（2）求函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的最大（小）值的步骤：
①求函数$y = f(x)$在区间$(a,b)$内的______；
②将函数$y = f(x)$的各极值与______比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

答案：
(1)连续不断　
(2)①极值　②端点处的函数值f(a),f(b)

1. 判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的极值可能不止一个，也可能没有. （ ）
（2）函数的极小值一定小于函数的极大值.（ ）
（3）函数的极小值一定是函数的最小值.（ ）
（4）函数的极大值一定不是函数的最小值. （ ）

答案：
(1)√　
(2)×　
(3)×　
(4)√