《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例2 (1)若$x＞0$，$y＞0$，$\frac{1}{2x + y}+\frac{3}{x + y}=2$，则$6x + 5y$的最小值为_______.
(2)已知正数$x,y,z$满足$x + y + z = 1$，则$\frac{x^{2}}{y + 2z}+\frac{y^{2}}{z + 2x}+\frac{z^{2}}{x + 2y}$的最小值为_______.

答案：
(1)$\frac{13}{2}$+2√3 　解析　　$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{3}{x+y}$=$\frac{1}{2.x十y}$+$\frac{12}{4(x+y)}$=$\frac{1²}{2.x+y}$+$\frac{(2\sqrt{3})}{4(x+y)}$≥$\frac{(1+2\sqrt{3})}{6x+5y}$=$\frac{13+4\sqrt{3}}{6x+5y}$, 　即2≥$\frac{13+4\sqrt{3}}{6x+5y}$，因为x＞0,y＞0,则6x+5y≥$\frac{13}{2}$+2$\sqrt{3}$, 　当且仅当$\frac{1}{2x+y}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4(x+y)}$. 　即x=$\frac{3\sqrt{3}-4}{4}$,y=$\frac{5-\sqrt{3}}{2}$时取等号, 　
(2)$\frac{1}{3}$ 　解析　$\frac{x²}{+2}$+$\frac{1}{2+2}$+$\frac{2}{x+2y}$ 　≥$\frac{(x+y+z)²}{y+2z+z+2x+x+2y}$=$\frac{1}{3}$， 当且仅当y+x22=$\frac{y}{之十2x}$=$\frac{之}{x+2y}$，即x=y=2=$\frac{1}{3}$时取等号.

跟踪训练2 (1)已知正数$x,y$满足$x + y = 1$，则$\frac{1}{x^{2}}+\frac{8}{y^{2}}$的最小值为_______.
(2)已知$a + b + c = 1$，且$a,b,c＞0$，则$\frac{2}{a + b}+\frac{2}{b + c}+\frac{2}{a + c}$的最小值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9

答案：
(1)27　
(2)D

1. 实数$x,y$满足$3x^{2}+4y^{2}=12$，则$z = 2x+\sqrt{3}y$的最小值是（ ）
A. -5
B. -6
C. 3
D. 4

答案： A

2. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设$a,b,x,y＞0$，则$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant\frac{(a + b)^{2}}{x + y}$，当且仅当$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$时，等号成立. 根据权方和不等式，函数$f(x)=\frac{2}{x}+\frac{9}{1 - 2x}(0＜x＜\frac{1}{2})$的最小值为（ ）
A. 16
B. 25
C. 36
D. 49

答案： B　[2因为a,b,x,y＞0, 　则$\frac{a}{人}$+$\frac{b²}{Y}$W$\frac{(a+b)²}{x+y}$, 　当且仅当$\frac{a}{x}$=$\frac{b}{Y}$时，等号成立， 　又0＜x＜$\frac{1}{2}$，即1-2x＞0, 　于是得∮(x)=$\frac{2²}{2}$+$\frac{3²}{1-2x}$≥$\frac{(2+3)²}{2x+(1-2x)}$=25，当且仅当$\frac{2}{2}$= 　$\frac{3}{1-2x}$，即x=$\frac{1}{5}$时，等号成立， 　所以函数f(x)=$\frac{2}{x}$+$\frac{9}{1-2x}$ 　(0＜x＜$\frac{1}{2}$)的最小值为25.]

3. 若实数$x + 2y + 3z = 1$，则$x^{2}+y^{2}+z^{2}$的最小值为（ ）
A. 14
B. $\frac{1}{14}$
C. 29
D. $\frac{1}{29}$

答案： B　[根据柯西不等式得(x²+y²+2²)(1+4+9)≥(x+2y+3z)²=1,即x²+y²+x²≥$\frac{1}{14}$,当且仅当x= 　$\frac{1}{14}$,y=$\frac{1}{7}$,z=$\frac{3}{14}$时等号成立]

4. 已知正数$x,y,z$满足$x + y + z = 1$，则$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$的最小值为_______.

答案： 36

5. $f(x)=\frac{5}{2\sin^{2}x + 3}+\frac{8}{5\cos^{2}x + 6}$的最小值为_______.

答案： $\frac{81}{37}$ 　解析　∮(x)=$\frac{5}{2sinx+3}$+$\frac{8}{5cos²x+6}$ 　=$\frac{5²}{5(2sin²x+3)}$+$\frac{4²}{2(5cos²x+6)}$ 　≥$\frac{(5+4)²}{10(sinx+cos²x)+27}$=$\frac{81}{37}$, 　当且仅当$\frac{5}{5(2sin²x+3)}$=$\frac{4}{2(5cos²x+6)}$,即sinx=±$\frac{√5}{3}$,COSx=±$\frac{2}{3}$时取等号

6. 若$a＞1$，$b＞1$，则$\frac{a^{2}}{b - 1}+\frac{b^{2}}{a - 1}$的最小值为_______.

答案： 8 　解析　$\frac{a²}{b-1}$+$\frac{b²}{a-1}$≥$\frac{(a+b)²}{a+b-2}$, 　令a+b-2=t， 　则$\frac{(a+b)²}{a+b-2}$=$\frac{(t+2)²}{t}$=t十$\frac{4}{t}$+4≥8.当且仅当$\frac{a}{b-1}$=$\frac{b}{a-1}$,即a=b=2 a+b-2=2, 　　　　　{ 　时取等号， 　所以$\frac{a²}{b-1}$+$\frac{b}{a-1}$的最小值为8.