《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例2（2023·长沙模拟）记Sₙ为数列{aₙ}的前n项和，已知a₁=2，a₂=-1，且aₙ₊₂+aₙ₊₁ - 6aₙ=0(n∈N*).
（1）证明：{aₙ₊₁+3aₙ}为等比数列；
（2）求数列{aₙ}的通项公式aₙ及前n项和Sₙ.

答案： 例2
(1)证明　由$a_{n + 2} + a_{n + 1} - 6a_n = 0$，可得$a_{n + 2} + 3a_{n + 1} = 2(a_{n + 1} + 3a_n)$，即$\frac{a_{n + 2} + 3a_{n + 1}}{a_{n + 1} + 3a_n} = 2(n \in N^*)$，
　
∴$\{a_{n + 1} + 3a_n\}$是以$a_2 + 3a_1 = 5$为首项，2为公比的等比数列. 　
(2)解　由
(1)可知$a_{n + 1} + 3a_n = 5\times2^{n - 1}(n \in N^*)$，
　
∴$a_{n + 1} - 2^n = - 3(a_n - 2^{n - 1})$，
　
∴$\frac{a_{n + 1} - 2^n}{a_n - 2^{n - 1}} = - 3$，
　
∴$\{a_n - 2^{n - 1}\}$是以$a_1 - 2^0 = 1$为首项，$- 3$为公比的等比数列，
　
∴$a_n - 2^{n - 1} = 1\times(- 3)^{n - 1}$，
　
∴$a_n = 2^{n - 1} + (- 3)^{n - 1}$， 　$S_n = \frac{1 - 2^n}{1 - 2} + \frac{1 - (- 3)^n}{1 - (- 3)}$ 　$= 2^n - \frac{3}{4} - \frac{(- 3)^n}{4}$.

跟踪训练2（2024·潍坊模拟）已知数列{aₙ}和{bₙ}满足a₁=3，b₁=2，aₙ₊₁=aₙ+2bₙ，bₙ₊₁=2aₙ+bₙ.
（1）证明：{aₙ+bₙ}和{aₙ - bₙ}都是等比数列；
（2）求{aₙbₙ}的前n项和Sₙ.

答案： 跟踪训练2
(1)证明　因为$a_{n + 1} = a_n + 2b_n$，$b_{n + 1} = 2a_n + b_n$， 　所以$a_{n + 1} + b_{n + 1} = 3(a_n + b_n)$， 　$a_{n + 1} - b_{n + 1} = -(a_n - b_n)$， 　又由$a_1 = 3$，$b_1 = 2$得$a_1 - b_1 = 1$，$a_1 + b_1 = 5$， 　所以数列$\{a_n + b_n\}$是首项为5，公比为3的等比数列，数列$\{a_n - b_n\}$是首项为1，公比为$- 1$的等比数列 　
(2)解　由
(1)得$a_n + b_n = 5\times3^{n - 1}$，$a_n - b_n = (- 1)^{n - 1}$， 　所以$a_n = \frac{5\times3^{n - 1} + (- 1)^{n - 1}}{2}$， 　$b_n = \frac{5\times3^{n - 1} - (- 1)^{n - 1}}{2}$， 　所以$a_nb_n = \frac{5\times3^{n - 1} + (- 1)^{n - 1}}{2} \times \frac{5\times3^{n - 1} - (- 1)^{n - 1}}{2} = \frac{25\times3^{2n - 2} - 1}{4} = \frac{25}{4} \times 9^{n - 1} - \frac{1}{4}$， 　所以$S_n = \frac{25}{4} \times \frac{1 - 9^n}{1 - 9} - \frac{n}{4} = \frac{25\times(9^n - 1) - 8n}{32}$

例3（1）（2023·全国乙卷）已知{aₙ}为等比数列，a₂a₃a₅=a₃a₆，a₉a₁₀=-8，则a₇=_______.
（2）已知数列{aₙ}满足log₂aₙ₊₁=1+log₂aₙ(n∈N*)，且a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=1，则log₂(a₁₀₁+a₁₀₂+…+a₁₁₀)=________.

答案： 例3
(1)-2   例3
(2)100