《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

4. 柱、锥、台、球的表面积和体积

答案： $Sh$ $\frac{1}{3}Sh$ $\frac{1}{3}(S_{上}+S_{下}+\sqrt{S_{上}S_{下}})h$ $4\pi R^{2}$ $\frac{4}{3}\pi R^{3}$

1. 判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
菱形的直观图仍是菱形. （ ）
有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥. （ ）
用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱. （ ）
锥体的体积等于底面积与高之积. （ ）

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×

2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ）

A. 四棱台B. 四棱锥
C. 四棱柱D. 三棱柱

答案： C

3. (必修第二册P111T1改编)下列说法正确的是（ ）
A. 相等的角在直观图中仍然相等|B. 相等的线段在直观图中仍然相等
C. 正方形的直观图是正方形|D. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

答案： D

4. 若一个圆锥的底面半径和高都是1，则它的母线长等于____，它的体积等于____.

答案： $\sqrt{2}$ $\frac{\pi}{3}$

例2 如图，△A'O'B'是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O'为坐标原点，顶点A'，B'均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O'B'的长度为（ ）

A. 1B. 2
C. 3D. 4

答案：
B [方法一] 如图，
画出△AOB的原图，为直角三角形，且 $OA = O'A' = 6$，因为 $\frac{1}{2}OB\cdot OA = 12$，所以 $OB = 4$，所以 $O'B'=\frac{1}{2}OB = 2$。 [方法二] $S_{直观图}=\frac{\sqrt{2}}{4}S_{原图形}=3\sqrt{2}$，又 $S_{直观图}=\frac{1}{2}O'A'\cdot O'B'\cdot\sin\angle A'O'B'$，所以 $O'B' = 2$。

例3 如图，已知正三棱柱ABC - A₁B₁C₁的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面
绕行两周到达A₁点的最短路线的长为（ ）

A. 12 cm|B. 13 cm
C. $\sqrt{61}$ cm|D. 15 cm

答案：
C [如图，
把侧面展开2周可得对角线最短，则 $AA_{1}=\sqrt{6^{2}+5^{2}}=\sqrt{61}(cm)$。]