《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1. 判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）$f'(x_0)$是函数$y = f(x)$在$x = x_0$附近的平均变化率.（ ）
（2）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（ ）
（3）$f'(x_0)=[f(x_0)]'$.（ ）
（4）$(e^{-x})'=-e^{-x}$.（ ）

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√

2. 若函数$f(x)=3^x+\sin 2x$，则（ ）
A. $f'(x)=3^x\ln 3 + 2\cos 2x$
B. $f'(x)=3^x + 2\cos 2x$
C. $f'(x)=\frac{3^x}{\ln 3}+\cos 2x$
D. $f'(x)=\frac{3^x}{\ln 3}-2\cos 2x$

答案： A

3.（选择性必修第二册P70T7改编）曲线$y=\frac{1}{2}x^2 - 2$在点$(1,-\frac{3}{2})$处的切线的倾斜角是______.

答案： $\frac{\pi}{4}$

4.（选择性必修第二册P82T11改编）设曲线$y = e^{2ax}$在点$(0,1)$处的切线与直线$2x - y + 1 = 0$垂直，则$a$的值为______.

答案： $-\frac{1}{4}$

例1（1）（多选）下列求导正确的是（ ）
A. $[(3x + 5)^3]'=9(3x + 5)^2$
B. $(x^3\ln x)'=3x^2\ln x + x^2$
C. $(\frac{2\sin x}{x^2})'=\frac{2x\cos x + 4\sin x}{x^3}$
D. $(\ln 2x)'=\frac{1}{2x}$
（2）（2023·河南联考）已知函数$f(x)$满足$f(x)=2f'(1)\ln x+\frac{x}{e}$（$f'(x)$为$f(x)$的导函数），则$f(e)$等于（ ）
A. $e - 1$
B. $\frac{2}{e}+1$
C. 1
D. $-\frac{2}{e}+1$

答案：
(1)AB　
(2)D

跟踪训练1（多选）下列命题正确的是（ ）
A. 若$f(x)=x\sin x - \cos x$，则$f'(x)=\sin x - x\cos x + \sin x$
B. 设函数$f(x)=x\ln x$，若$f'(x_0)=2$，则$x_0 = e$
C. 已知函数$f(x)=3x^2e^x$，则$f'(1)=12e$
D. 设函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，且$f(x)=x^2 + 3xf'(2)+\ln x$，则$f'(2)=-\frac{9}{4}$

答案： BD　[对于选项A,f'(x)=sinx+xcosx+sinx，故选项A不正确;对于选项B.f(x)=lnx+1，则f'(x₀)=lnx₀+1=2，解得x₀=e，故选项B正确;对于选项C.f'(x)=6xe^x+3x²e^x，则f'
(1)=6e+3e=9e,故选项C不正确;对于选项D.f'(x)=2x+3f'
(2)+$\frac{1}{x}$,则f'
(2)=4+3f'
(2)+$\frac{1}{2}$,解得f'
(2)=-$\frac{9}{4}$，故选项D正确]

例2（1）（2023·全国甲卷）曲线$y=\frac{e^x}{x + 1}$在点$(1,\frac{e}{2})$处的切线方程为（ ）
A. $y=\frac{e}{4}x$
B. $y=\frac{e}{2}x$
C. $y=\frac{e}{4}x+\frac{e}{4}$
D. $y=\frac{e}{2}x+\frac{3e}{4}$
（2）（2022·新高考全国Ⅱ）曲线$y=\ln|x|$过坐标原点的两条切线的方程为______________，______________.

答案：
(1)C　
(2)$y=\frac{1}{e}x$　$y=-\frac{1}{e}x$

例3（1）（2024·泸州模拟）若直线$y = kx + 1$为曲线$y=\ln x$的一条切线，则实数$k$的值是（ ）
A. e
B. $e^2$
C. $\frac{1}{e}$
D. $\frac{1}{e^2}$
（2）（2022·新高考全国Ⅰ）若曲线$y=(x + a)e^x$有两条过坐标原点的切线，则$a$的取值范围是________________.

答案：
(1)D　[设直线$y=kx + 1$在曲线$y=\ln x$上的切点为$P(x_0,y_0)$，因为$y=\ln x$，所以$y'=\frac{1}{x}$，所以切线斜率$k=y'\vert_{x = x_0}=\frac{1}{x_0}$，所以曲线$y=\ln x$在点$P(x_0,y_0)$处的切线方程为$y - y_0=\frac{1}{x_0}(x - x_0)$，又$y_0=\ln x_0$，所以切线方程为$y=\frac{1}{x_0}x - 1+\ln x_0$，又切线方程为$y=kx + 1$，所以$\begin{cases}k=\frac{1}{x_0}\\1=-1+\ln x_0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_0 = e^2\\k=\frac{1}{e^2}\end{cases}$
(2)$(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$　解析　因为$y=(x + a)e^x$，所以$y'=(x + a + 1)e^x$。设切点为$A(x_0,(x_0 + a)e^{x_0})$，$O$为坐标原点，依题意得，切线斜率$k_{OA}=y'\vert_{x = x_0}=(x_0 + a + 1)e^{x_0}=\frac{(x_0 + a)e^{x_0}}{x_0}$，化简，得$x_0^2+ax_0 - a = 0$。因为曲线$y=(x + a)e^x$有两条过坐标原点的切线，所以关于$x_0$的方程$x_0^2+ax_0 - a = 0$有两个不同的根，所以$\Delta=a^2 + 4a＞0$，解得$a＜-4$或$a＞0$，所以$a$的取值范围是$(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$。