《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1 设函数$f(x)=\frac{\sin x}{2 + \cos x}$.如果对任何$x \geq 0$，都有$f(x) \leq ax$，求$a$的取值范围.

答案： 例1解　f(x)=$\frac{sinx}{2+COSx}$≤ax， 　若x=0，则a∈R; 　若x＞0,则$\frac{sinx}{2+COSx}$≤ax等价于a≥sinx 　x(2+cosx), 　即g(x)=$\frac{sinr}{x(2+cosx)}$，则g'(x)= 　$\frac{2.rcosx-2sinx-sinrcosx+x}{x²(2+cosx)²}$ 　令h(x)=2xcosx-2sinx-sinxcosx 十x， 　h'(x)=2cosx-2xsinx-2cosx-cos2x+1=-2xsinx-cos2x+1 =2sin²x-2xsinx 　=2sinx(sinx-x), 　因此，当x∈(0,π)时,h'(x)＜0,h(x)在(0,π)上单调递减，且h
(0)= 　0，故g(x)＜0, 　所以g(x)在(0,π)上单调递减， 　而limg(x)=|im$\frac{sInr}{x(2+cosx)}$ 　=lim$\frac{COSx}{2+COsx-rsinx}$=$\frac{1}{3}$ 　另一方面，当ix∈[π,+∞)时， 　g(x)=$\frac{sinx}{x(2+cosx)}$　$\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{π}$＜$\frac{1}{3}$,因此α≥$\frac{1}{3}$

跟踪训练1 若$\forall x \in [1, +\infty)$，不等式$\ln x \leq m(x - \frac{1}{x})$恒成立，求实数$m$的取值范围.

答案： 跟踪训练1　解　　当x=1时，不等式恒成立，m∈R; 　当x＞1时,m≥$\frac{xIn}{2-1}$恒成立， 　令h(x)=xx²In-x1,x＞1, 　则h(x)=$\frac{(lnx+1)(x²-1)-2r.xlnr}{(x²-1)²}$ 　=$\frac{x²-x²lnx-lnx-1}{(x²-1)²}$; 　令m(x)=x²-x²1nx-lnx-1,x＞1,则m²(x)=2x-2.x1nx-x-$\frac{1}{x}$= 　$\frac{x²-2x²lnx-1}{x}$; 　令n(x)=x²-2x²lnx-1，x＞1,则n'(x)=2x-4.xlnx-2x 　=-4×1nx＜0, 　得n(x)=x²-2x²lnx-1在(1，+∞) 　上单调递减，故n(x)＜n
(1)=0， 　进而m²(x)＜0(令)(x)=x-2×1nx 一$\frac{1}{x}$,x＞1, 　则'(x)=-21nx-1+$\frac{1}{x²}$＜0, 　得(x)在(1,+∞)上单调递减， 　进而m²(x)=￠(x)＜
(1)=0). 　所以m(x)在(1,+80)上单调递减，可得m(x)＜m
(1)=0，故h,(x)＜0，所以h(x)=$\frac{xln}{x²-1}$在(1，+8)上单调递(减1;而十8m要大于(但但x当当)=x$\frac{xln}{x²-1}$=1时 　y=h(x)没有意义， 　故由洛必达法则可得 　lm$\frac{xlnx}{x²-1}$=lim$\frac{Inx+1}{2}$=$\frac{1}{2}$, 　故m≥$\frac{1}{2}$， 　综上所述，m的取值范围是[$\frac{1}{2}$,+∞)