《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1. 根式
- (1)一般地，如果$x^{n}=a$，那么______叫做$a$的$n$次方根，其中$n＞1$，且$n\in\mathbf{N}^{*}$.
- (2)式子$\sqrt[n]{a}$叫做______，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数.
- (3)$(\sqrt[n]{a})^{n}=$______.
当$n$为奇数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=$______，
当$n$为偶数时，$\sqrt[n]{a^{n}} = |a| = \begin{cases}a,a\geq0,\\ -a,a＜0.\end{cases}$

答案：

1.
(1)z

(2)根式
(3)a

2. 分数指数幂
正数的正分数指数幂：$a^{\frac{m}{n}}=$______($a＞0$，$m,n\in\mathbf{N}^{*}$，$n＞1$).
正数的负分数指数幂：$a^{-\frac{m}{n}}=$______$=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}(a＞0,m,n\in\mathbf{N}^{*},n＞1)$.
$0$的正分数指数幂等于______，$0$的负分数指数幂没有意义.

答案：

3. 指数幂的运算性质
$a^{r}a^{s}=$______；$(a^{r})^{s}=$______；$(ab)^{r}=$______($a＞0$，$b＞0$，$r$，$s\in\mathbf{R}$).

答案：

4. 指数函数及其性质
- (1)概念：一般地，函数$y = a^{x}$($a＞0$，且$a\neq1$)叫做指数函数，其中指数$x$是自变量，定义域是______.
- (2)指数函数的图象与性质

答案：

.
(1)R
(2)R(0，+∞)(0.1)

y>10<y<1y>10<y<1

增减

【自主诊断】
1. 判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）$\sqrt[4]{(-4)^{4}}=-4$. （ ）
（2）$2^{a}\cdot2^{b}=2^{ab}$. （ ）
（3）指数函数$y = a^{x}$与$y = a^{-x}$（$a＞0$，且$a\neq1$）的图象关于$y$轴对称. （ ）
（4）若$a^{m}＜a^{n}$（$a＞0$，且$a\neq1$），则$m ＜ n$. （ ）

答案：

1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)×

2. 已知函数$y = a\cdot2^{x}$和$y = 2^{x + b}$都是指数函数，则$a + b$等于 （ ）
A. 不确定
B. $0$
C. $1$
D. $2$

答案：

C

3. 已知关于$x$的不等式$(\frac{1}{3})^{x - 4}\geq3^{-2x}$，则该不等式的解集为 （ ）
A. $[-4,+\infty)$
B. $(-4,+\infty)$
C. $(-\infty,-4)$
D. $(-4,1]$

答案：

A

4. （2023·福州质检）$\sqrt[3]{(-4)^{3}}+(\frac{1}{2})^{0}+0.25^{\frac{1}{2}}\times(-\frac{1}{2})^{-4}=$______.

答案：

5

例1 计算：
（1）$(5\frac{1}{16})^{0.5}-2\times(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}}-2\times(\sqrt{2 + \pi})^{0}+(\frac{4}{3})^{-2}$；
（2）$2\sqrt{3}\times3\sqrt[3]{1.5}\times\sqrt[6]{12}$.

答案：

例1解
(1)原式= ( $\frac{81}{16}$ ) -2×

( $\frac{64}{27}$ --2+( $\frac{3}{4}$ )²=[( $\frac{3}{2}$ )⁴÷-

3² 3

2× ( $\frac{3}{4}$ )  -2+|=-2× $\frac{9}{16}$ $\frac{9}{4}$ $\frac{9}{16}$

-2十 $\frac{9}{16}$ = $\frac{9}{4}$ 一 $\frac{9}{8}$ -2十 $\frac{9}{16}$ =一 $\frac{5}{16}$ :

(2)原式=2×3²x3x( $\frac{3}{2}$ ) ÷×(2x3)

=6×2-+÷×31+1+18=6×3=18.

跟踪训练1（多选）下列计算正确的是 （ ）
A. $\sqrt[12]{(-3)^{4}}=\sqrt[3]{-3}$
B. $(a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})( - 3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})\div(\frac{1}{3}a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})= - 9a$（$a＞0$，$b＞0$）
C. $\sqrt{\sqrt[3]{9}}=\sqrt[3]{3}$
D. 已知$x^{2}+x^{-2}=2$，则$x + x^{-1}=2$

答案：

跟踪训练1BC

例2（1）（多选）已知实数$a$，$b$满足等式$3^{a}=6^{b}$，则下列可能成立的关系式为 （ ）
A. $a = b$ B. $0 ＜ b ＜ a$ C. $a ＜ b ＜ 0$ D. $0 ＜ a ＜ b$
（2）若函数$f(x)=|2^{x}-2|-b$有两个零点，则实数$b$的取值范围是______.

答案：

例2
(1)ABC 

[由题意，在同一平面直角坐标系内分别画 y=k

和y=6I的图 象，如图所示， 出函数y=3x  2∥ m由图象知，当a=b=0时，3=6=1，故选项A正确;

作出直线y=k，当k>1时，若3。=6°=k,则0<b<a，故选项B正确;

作出直线y=m，当0<m<1时，若3“=6b=m,则a<b<0,故选项C正确;

当0<a<b时，易得2°>1，则3°<3⁶<2°.3°=6b，故选项D错误.]

(2)(0.2)

解析在同一 Y y=12-2

平面直角坐标

系中画出y=....²..--y=2

12-2|与y= y=b

b的图象，如图所示

∴ 当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数

f(x)=12x-21-b有两个零点.

∴ 实数b的取值范围是(0.2).

跟踪训练2（多选）已知函数$f(x)=a^{x}-b$（$a＞0$，且$a\neq1$，$b\neq0$）的图象不经过第三象限，则$a$，$b$的取值范围可能为 （ ）
A. $0 ＜ a ＜ 1$，$b ＜ 0$
B. $0 ＜ a ＜ 1$，$0 ＜ b\leq1$
C. $a ＞ 1$，$b ＜ 0$
D. $a ＞ 1$，$0 ＜ b\leq1$

答案： 跟踪训练2ABC

例3（2024·海口模拟）已知$a = 1.3^{0.6}$，$b = (\frac{4}{3})^{-0.4}$，$c = (\frac{3}{4})^{0.3}$，则 （ ）
A. $c ＜ b ＜ a$
B. $a ＜ b ＜ c$
C. $c ＜ a ＜ b$
D. $b ＜ c ＜ a$

答案： D

例4 已知$p:a^{x}＜1$（$a＞1$），$q:2^{x + 1}-x＜2$，则$p$是$q$的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B

例5 已知函数$f(x)=\frac{8^{x}+a\cdot2^{x}}{a\cdot4^{x}}$（$a$为常数，且$a\neq0$，$a\in\mathbf{R}$）是奇函数.
（1）求$a$的值；
（2）若$\forall x\in[1,2]$，都有$f(2x)-mf(x)\geq0$成立，求实数$m$的取值范围.

答案：

跟踪训练3（1）（多选）（2023·重庆模拟）已知函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1}$，则下列结论正确的是 （ ）
A. 函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$
B. 函数$f(x)$的值域为$(-1,1)$
C. 函数$f(x)$是奇函数
D. 函数$f(x)$为减函数

答案： ABC

（2）（2023·银川模拟）函数$f(x)=a^{x}$（$a＞0$，且$a\neq1$）在区间$[1,2]$上的最大值比最小值大$\frac{a}{2}$，则$a$的值为______.

答案：

1.对数的概念
一般地，如果$a^{x}=N(a＞0$，且$a\neq1)$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作____________，其中____________叫做对数的底数，____________叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数，记作____________.
以e为底的对数叫做自然对数，记作____________.

答案： x=1ogN　a　N　1gN　1nN 2.
(1)0　1　N　

2.对数的性质与运算性质
（1）对数的性质：$\log_{a}1 = 0$，$\log_{a}a = 1$，$a^{\log_{a}N}=N(a＞0$，且$a\neq1$，$N＞0)$.
（2）对数的运算性质
如果$a＞0$，且$a\neq1$，$M＞0$，$N＞0$，那么：
①$\log_{a}(MN)=$____________；
②$\log_{a}\frac{M}{N}=$____________；
③$\log_{a}M^{n}=$____________.
（3）对数换底公式：$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}(a＞0$，且$a\neq1$；$b＞0$；$c＞0$，且$c\neq1)$.

答案：
(2)①1ogM+logN ②logM-logN　③nlogM 

3.对数函数的图象与性质

答案： (0,+∞)　R　(1.0)　y＞0y＜0 y＜0　y＞0　增　减 

4.反函数
指数函数$y = a^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$与对数函数____________$(a＞0$，且$a\neq1)$互为反函数，它们的图象关于直线____________对称.

答案： y=logx　y=x