《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

典例 函数$f(x)=x^{2}+\frac{3}{x^{2}+2}$的最小值是_____.

答案： $\frac{3}{2}$

例 4 （1）已知正数$a$，$b$满足$\frac{8}{b}+\frac{4}{a}=1$，则$8a + b$的最小值为（ ）
A. 54 B. 56 C. 72 D. 81
延伸探究 已知正数$a$，$b$满足$8a + 4b = ab$，则$8a + b$的最小值为________.
（2）已知正数$a$，$b$满足$a + 2b = 3$恒成立，则$\frac{1}{a + 1}+\frac{2}{b}$的最小值为（ ）
A. $\frac{3}{2}$ B. $\frac{9}{4}$ C. 2 D. 3

答案： （1）C　[8a + b =(8a + b)($\frac{8}{b}+\frac{4}{a}$)=$\frac{64a}{b}+\frac{4b}{a}+40$≥$2\sqrt{\frac{64a}{b}\cdot\frac{4b}{a}}+40 = 72$，当且仅当$\frac{64a}{b}=\frac{4b}{a}$，即$a = 6$，$b = 24$时取等号。]延伸探究72　解析：
∵$8a + 4b = ab$，$a＞0$，$b＞0$，
∴$\frac{8}{b}+\frac{4}{a}=1$，
∴$8a + b =(8a + b)($\frac{8}{b}+\frac{4}{a}$)=$\frac{64a}{b}+\frac{4b}{a}+40$≥$2\sqrt{\frac{64a}{b}\cdot\frac{4b}{a}}+40 = 72$，当且仅当$\frac{64a}{b}=\frac{4b}{a}$，即$a = 6$，$b = 24$时取等号。（2）B　[由$a + 2b = 3$得$(a + 1)+2b = 4$，于是$\frac{1}{a + 1}+\frac{2}{b}=(\frac{1}{a + 1}+\frac{2}{b})\cdot\frac{(a + 1)+2b}{4}=\frac{1}{4}(1 + 4+\frac{2(a + 1)}{b}+\frac{2b}{a + 1})=\frac{1}{4}(5 + 2\sqrt{\frac{2(a + 1)}{b}\cdot\frac{2b}{a + 1}})=\frac{9}{4}$，当且仅当$\frac{2(a + 1)}{b}=\frac{2b}{a + 1}$，且$a＞0$，$b＞0$，即$a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{4}{3}$时，等号成立。所以$\frac{1}{a + 1}+\frac{2}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$。]

例 5 已知正数$a$，$b$满足$a^{2}-2ab + 4 = 0$，则$b-\frac{a}{4}$的最小值为（ ）
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. $2\sqrt{2}$

答案： B　[
∵$a＞0$，$b＞0$，$a^{2}-2ab + 4 = 0$，则$b=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}$，
∴$b-\frac{a}{4}=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}-\frac{a}{4}=\frac{a}{4}+\frac{2}{a}$≥$2\sqrt{\frac{a}{4}\cdot\frac{2}{a}}=\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{a}{4}=\frac{2}{a}$，即$a = 2\sqrt{2}$时，等号成立，此时$b=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。]

例 6 若$a\gt0$，$b\gt0$，且$ab = a + b + 3$，则$ab$的最小值为（ ）
A. 9
B. 6
C. 3
D. 12

答案： A　[因为$a＞0$，$b＞0$，所以$a + b\geq2\sqrt{ab}$，当且仅当$a = b$时，等号成立。又$ab = a + b + 3$，所以$ab = a + b + 3\geq2\sqrt{ab}+3$，整理可得$ab - 2\sqrt{ab}-3\geq0$。解得$\sqrt{ab}\geq3$或$\sqrt{ab}\leq - 1$（舍去）。所以$\sqrt{ab}\geq3$，所以$ab\geq9$。所以当$a = b = 3$时，$ab$的最小值为 9。]

跟踪训练 2 （1）（多选）下列四个函数中，最小值为 2 的是（ ）
A. $y = \sin x+\frac{1}{\sin x}(0\lt x\leq\frac{\pi}{2})$
B. $y = 2 - x-\frac{4}{x}(x\lt0)$
C. $y = \frac{x^{2}+6}{\sqrt{x^{2}+5}}$
D. $y = 4^{x}+4^{-x}$
（2）（多选）已知正实数$a$，$b$满足$ab + a + b = 8$，下列说法正确的是（ ）
A. $ab$的最大值为 2
B. $a + b$的最小值为 4
C. $a + 2b$的最小值为$6\sqrt{2}-3$
D. $\frac{1}{a(b + 1)}+\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{1}{2}$

答案： （1）AD （2）BCD　[对于A，因为$ab + a + b = 8\geq ab + 2\sqrt{ab}$，即$(\sqrt{ab})^{2}+2\sqrt{ab}-8\leq0$。解得$-4\leq\sqrt{ab}\leq2$，又因为$a＞0$，$b＞0$，所以$0＜\sqrt{ab}\leq2$。则$ab\leq4$，当且仅当$a = b = 2$时取等号，故A错误；对于B，$ab + a + b = 8\leq\frac{(a + b)^{2}}{4}+(a + b)$，即$(a + b)^{2}+4(a + b)-32\geq0$。解得$a + b\leq - 8$（舍）或$a + b\geq4$，当且仅当$a = b = 2$时取等号，故B正确；对于C，由题意可得$b(a + 1)=8 - a$，所以$b=\frac{8 - a}{a + 1}＞0$，解得$0＜a＜8$，所以$a + 2b = a + 2\times\frac{8 - a}{a + 1}=a+\frac{18}{a + 1}-2=a + 1+\frac{18}{a + 1}-3\geq2\sqrt{\frac{18}{a + 1}\cdot(a + 1)}-3 = 6\sqrt{2}-3$，当且仅当$a + 1=\frac{18}{a + 1}$，即$a = 3\sqrt{2}-1$时取等号，故C正确；对于D，$\frac{1}{a(b + 1)}+\frac{1}{b}=\frac{1}{8}(\frac{1}{a(b + 1)}+\frac{1}{b})[a(b + 1)+b]=\frac{1}{8}(2+\frac{b}{a(b + 1)}+\frac{a(b + 1)}{b})\geq\frac{1}{8}\times(2 + 2)=\frac{1}{2}$，当且仅当$\frac{b}{a(b + 1)}=\frac{a(b + 1)}{b}$，即$b = 4$，$a=\frac{4}{5}$时取等号，故D正确]