《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练1 如图，点$P$在边长为1的正方形$ABCD$的边上运动，$M$是$CD$的中点，则当$P$沿$A - B - C - M$运动时，点$P$经过的路程$x$与$\triangle APM$的面积$y$的函数$y = f(x)$的图象大致是 （ ）

答案： A

例2（1）（2023·南京模拟）目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量$E$（单位：焦耳）与地震里氏震级$M$之间的关系为$\lg E = 4.8 + 1.5M$. 则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的 （ ）
A. 6倍 B. $10^{2}$倍 C. $10^{3}$倍 D. $10^{6}$倍
(2)（2023·无锡模拟）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度$\leqslant0.1\ \text{mg}/\text{m}^{3}$为安全范围. 已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为$6.05\ \text{mg}/\text{m}^{3}$，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度$\mu(t)$（单位：$\text{mg}/\text{m}^{3}$）与竣工后保持良好通风的时间$t(t\in\mathbf{N})$（单位：天）近似满足函数关系式$\mu(t)=\lambda\text{e}^{-\frac{t}{7}}+0.05(\lambda\in\mathbf{R})$，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（参考数据：$\ln 2\approx0.7,\ln 3\approx1.1,\ln 5\approx1.6$） （ ）
A. 32天 B. 33天 C. 34天 D. 35天

答案：
(1)C　[设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E.里氏6.0级地震所释则放g出E1来=4的+觥量1.5为×8E|6.8.E=106⁸.;1gE2=4.8+1.5×6=13.8.E2=10¹³⁸,$\frac{E}{E2}$=$\frac{106.8}{1013.8}$=10³.]
(2)C　[依题意可知当t=0时， u(t)=6.05, 即6.05=λe-7+0.05，解得入=6，所以(t)=6e二÷+0.05, 由u(t)=6e-7+0.05≤0.1. 得e二≤$\frac{1}{120}$, 即一$\frac{t}{7}$≤In$\frac{1}{120}$，即$\frac{t}{7}$≥1n120=31n2+1n3÷1n5≈3×0.7+1.1+1.6= 4.8,所以1≥33.6， 又I∈N,所以tmin=34， 至少需要放置的时间为34天]

跟踪训练2（2023·西安模拟）某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量$M$（单位：$\text{mg}/\text{L}$）与时间$t$（单位：$\text{h}$）之间的关系为$M = M_{0}\text{e}^{-kt}$（其中$M_{0},k$是正常数）. 已知经过1 h，设备可以过滤掉$20\%$的污染物，则过滤掉$60\%$的污染物所需的时间约为（参考数据：$\lg 2\approx0.301$） （ ）
A. 3 h
B. 4 h
C. 5 h
D. 6 h

答案： B

例3（2024·文山模拟）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车. 某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间$t_{0}$、人的反应时间$t_{1}$、系统反应时间$t_{2}$、制动时间$t_{3}$，相应的距离分别为$d_{0},d_{1},d_{2},d_{3}$，当车速为$v$（单位：$\text{m}/\text{s}$），且$0\leqslant v\leqslant33.3$时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数$k$随地面湿滑程度等路面情况而变化，且$0.5\leqslant k\leqslant0.9$）.

(1) 请写出报警距离$d$（单位：$\text{m}$）与车速$v$（单位：$\text{m}/\text{s}$）之间的表达式；
(2) 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？

答案： 解　
(1)根据题意,d=d。+d1+d2+d3=30+0.8x+0.2v+$\frac{²}{20k}$=30+U十$\frac{²}{20k}$(0≤u≤33.3).
(2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9],d ＜90恒成立， 即对任意的k∈[0.5,0.9],30÷u÷$\frac{u²}{20k}$＜90恒成立. 易知当v=0时，满足题意; 当0＜＜≤33.3时，有$\frac{1}{20k}$＜$\frac{60}{心²}$-$\frac{1}{U}$对任意的k∈[0.5,0.9]恒成立， 由k∈[0.5,0.9],得$\frac{1}{20k}$∈[$\frac{1}{18}$,$\frac{1}{10}$,所以$\frac{60}{y²}$-$\frac{1}{U}$＞$\frac{1}{10}$， 即u²+10u-600＜0, 解得-30＜＜20, 所以0＜＜＜20. 综上，0≤=＜20. 所以汽车的行驶速度应限制在20m/s 以下