《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1（1）（2023·榆林模拟）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$a\sin A+(b + \lambda a)\sin B = c\sin C$，则$\lambda$的取值范围为 （ ）
A. $(-2,2)$
B. $(0,2)$
C. $[-2,2]$
D. $[0,2]$

答案： A　[因为$a\sin A+(b + \lambda a)\sin B = c\sin C$，由正弦定理得$c^{2}=a^{2}+b^{2}+\lambda ab$，由余弦定理知$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$，所以$\lambda = - 2\cos C$，因为$C\in(0,\pi)$，所以$\cos C\in(-1,1)$，故$\lambda\in(-2,2)$。]

（2）（2024·兰州模拟）用长度为1，4，8，9的4根细木棒围成一个三角形（允许连接，不允许折断），则其中某个三角形外接圆的直径可以是__________（写出一个答案即可）.

答案： $\frac{30\sqrt{11}}{11}$（答案不唯一） 解析　4根细木棒围成的三角形的三边长可以为5，8，9，设边长为9的边所对的角为$\theta$，该三角形外接圆的半径为$R$，由余弦定理知，$\cos\theta=\frac{25 + 64 - 81}{2\times5\times8}=\frac{1}{10}$，因为$\theta\in(0,\pi)$，所以$\sin\theta=\sqrt{1 - \cos^{2}\theta}=\frac{3\sqrt{11}}{10}$，由正弦定理知，$2R=\frac{9}{\sin\theta}=\frac{9}{\frac{3\sqrt{11}}{10}}=\frac{30\sqrt{11}}{11}$，所以其中某个三角形外接圆的直径可以是$\frac{30\sqrt{11}}{11}$

跟踪训练1（1）在△ABC中，$a$，$b$，$c$分别为内角A，B，C的对边，$a = 1$，$c=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$A = 45^{\circ}$，则C等于 （ ）
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $120^{\circ}$
D. $60^{\circ}$或$120^{\circ}$

答案： D

（2）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$b\sin 2A = a\sin B$，且$c = 2b$，则$\frac{a}{b}$等于 （ ）
A. 2
B. 3
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$

答案： D

例2（2023·临沂模拟）在△ABC中，已知$\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=\frac{b + c}{a}$且满足条件①$a(\sin A-\sin B)=(c - b)(\sin C+\sin B)$；②$b\cos A + a\cos B = c\sin C$中的一个，试判断△ABC的形状，并写出推理过程.

答案： 解　由$\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=\frac{b + c}{a}$及正弦定理得$\frac{a + c}{b}=\frac{b + c}{a}$，即$a^{2}+ac = b^{2}+bc$，$\therefore a^{2}-b^{2}+ac - bc = 0$，$\therefore(a - b)(a + b + c)=0$，$\therefore a = b$。 若选①，则△ABC为等边三角形。 推理如下： 由$a(\sin A-\sin B)=(c - b)(\sin C+\sin B)$及正弦定理，得$a(a - b)=(c - b)(c + b)$，即$a^{2}+b^{2}-c^{2}=ab$。 $\therefore$由余弦定理得$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}$， 又$C\in(0,\pi)$，$\therefore C=\frac{\pi}{3}$ $\therefore$△ABC为等边三角形。 若选②，则△ABC为等腰直角三角形。推理如下： $\because b\cos A + a\cos B = b\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+a\cdot\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{2c^{2}}{2c}=c = c\sin C$，$\therefore\sin C = 1$，$\therefore C=\frac{\pi}{2}$， $\therefore$△ABC为等腰直角三角形。

例4（2023·梅州模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$2a + b = 2c\cos B$.
(1)求角C；
(2)若$CD$是角C的平分线，$AD = 2\sqrt{7}$，$DB=\sqrt{7}$，求$CD$的长.

答案： 解　
(1)由$2a + b = 2c\cos B$，根据正弦定理可得$2\sin A+\sin B = 2\sin C\cos B$，则$2\sin(B + C)+\sin B = 2\sin C\cos B$，所以$2\sin B\cos C+2\cos B\sin C+\sin B = 2\sin C\cos B$，整理得$(2\cos C + 1)\sin B = 0$，因为$B$，$C$均为三角形内角，所以$B$，$C\in(0,\pi)$，$\sin B\neq0$，因此$\cos C = -\frac{1}{2}$，所以$C=\frac{2\pi}{3}$。
(2)因为$CD$是角$C$的平分线，$AD = 2\sqrt{7}$，$DB=\sqrt{7}$，所以在$\triangle ACD$和$\triangle BCD$中，由正弦定理可得，$\frac{AD}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{CD}{\sin A}$，$\frac{BD}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{CD}{\sin B}$，因此$\frac{AD}{BD}=\frac{\sin B}{\sin A}=2$，即$\sin B = 2\sin A$，所以$b = 2a$。 又由余弦定理可得$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$，即$(3\sqrt{7})^{2}=a^{2}+4a^{2}+2a^{2}$，解得$a = 3$，所以$b = 6$。 又$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD}$，即$\frac{1}{2}ab\sin\angle ACB=\frac{1}{2}b\cdot CD\cdot\sin\angle ACD+\frac{1}{2}a\cdot CD\cdot\sin\angle BCD$，即$18 = 9CD$，所以$CD = 2$。

跟踪训练2（1）（2024·西安模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为$a$，$b$，$c$，$a = 2\sqrt{17}$，$b = 5\sqrt{2}$，$\cos A=\frac{4}{5}$，则△ABC的面积为 （ ）
A. $36\sqrt{2}$
B. $18\sqrt{3}$
C. 27
D. 36

答案： C

（2）（2023·聊城模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$a - b = c\cos B - c\cos A$，则△ABC的形状一定是 （ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 直角三角形三角形
D. 等腰或直角三角形

答案： D

（3）（2023·宝鸡统考）在△ABC中，$AB = 5$，$AC = 7$，$D$为$BC$的中点，$AD = 5$，则$BC$等于 （ ）
A. $2\sqrt{3}$
B. $4\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $4\sqrt{2}$

答案： B