《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例2 （12分）（2023·新高考全国I）在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于点P到点$(0,\frac{1}{2})$的距离，记动点P的轨迹为W.
（1）求W的方程； [切入点:直接法求轨迹方程]
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于$3\sqrt{3}$. [关键点:对周长放缩]
[思路分析]
（1）设P(x,y)，直接法求轨迹方程
（2）设点A，B，C的坐标，利用AB⊥BC建立关系
（3）利用弦长公式表示出周长
（4）对周长进行放缩
（5）建立函数，利用导数求最值
答题模板 规范答题不丢分
（1）解 设P(x,y)，则$|y|=\sqrt{x^{2}+(y - \frac{1}{2})^{2}}$，
两边同时平方化简得$y = x^{2}+\frac{1}{4}$，
故W:$y = x^{2}+\frac{1}{4}$.（2分）
（2）证明 设矩形的三个顶点A$(a,a^{2}+\frac{1}{4})$，B$(b,b^{2}+\frac{1}{4})$，C$(c,c^{2}+\frac{1}{4})$在W上，且a ＜ b ＜ c，
易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
则$k_{AB}\cdot k_{BC}=-1$，a + b ＜ b + c，（4分）
令$k_{AB}=\frac{b^{2}+\frac{1}{4}-(a^{2}+\frac{1}{4})}{b - a}=a + b = m ＜ 0$，
同理令$k_{BC}=b + c = n ＞ 0$，且mn = -1，则$m = -\frac{1}{n}$，（6分）
设矩形周长为C，由对称性不妨设$|m|\geqslant|n|$，
$k_{BC}-k_{AB}=c - a = n - m = n+\frac{1}{n}$，
则$\frac{1}{2}C=|AB|+|BC|=(b - a)\sqrt{1 + m^{2}}+(c - b)\sqrt{1 + n^{2}}$
$\geqslant(c - a)\sqrt{1 + n^{2}}=(n+\frac{1}{n})\sqrt{1 + n^{2}}$，n ＞ 0，（8分）
易知$(n+\frac{1}{n})\sqrt{1 + n^{2}}＞0$.
则令$f(x)=(x+\frac{1}{x})^{2}(1 + x^{2})$，x ＞ 0，
$f^{\prime}(x)=2(x+\frac{1}{x})^{2}(2x-\frac{1}{x})$，令$f^{\prime}(x)=0$，解得$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当$x\in(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$时，$f^{\prime}(x)＜0$，此时f(x)单调递减，
当$x\in(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)$时，$f^{\prime}(x)＞0$，此时f(x)单调递增，
则$f(x)_{\min}=f(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{27}{4}$，（10分）
故$\frac{1}{2}C\geqslant\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即$C\geqslant3\sqrt{3}$.
当$C = 3\sqrt{3}$时，$n=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$m = -\sqrt{2}$，
与当$(b - a)\sqrt{1 + m^{2}}=(b - a)\sqrt{1 + n^{2}}$，
即m = n时等号成立，矛盾，
故$C＞3\sqrt{3}$，得证.（12分）

答案：