《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1. 判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
(1)若函数$f(x)$满足$f(-3)＜f(2)$，则$f(x)$在$[-3,2]$上单调递增. （ ）
(2)若函数$f(x)$在$(-2,3)$上单调递增，则函数$f(x)$的单调递增区间为$(-2,3)$. （ ）
(3)若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有最值. （ ）
(4)函数$y=\frac{1}{x}$的单调递减区间是$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$. （ ）

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)×

2. 下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A. $y = -2x + 1$
B. $y = x^2 + 1$
C. $y=\sqrt{x}$
D. $y = 2^x$

答案： A

3.（2023·宜春统考）函数$y = -\frac{1}{x + 1}$在区间$[1,2]$上的最大值为（ ）
A. $-\frac{1}{3}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $-1$
D. 不存在

答案： A

4. 函数$f(x)$是定义在$[0,+\infty)$上的减函数，则满足$f(2x - 1)＞f(\frac{1}{3})$的$x$的取值范围是____________.

答案： [$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$)

例1（多选）下列函数在$(0,+\infty)$上单调递增的是（ ）
A. $y = x-\frac{1}{x}$
B. $y = |x^2 - 2x|$
C. $y = 2x + 2\cos x$
D. $y = \lg(x + 1)$

答案： ACD　[
∵y=x与y=一$\frac{1}{x}$在(0,十∞)上单调递增，
∴y=x一$\frac{1}{x}$在(0,+∞)上单调递增，故A正确; 　由y=｜x²-2x的图象(图略)知,B 不正确;
　
∵y=2-2sinx≥0,
　
∴y=2x+2cosx是R上的增函数，故C正确; 　函数y=1g(x+1)是定义域(-1，+∞)上的增函数，故D正确]

例2 试讨论函数$f(x)=\frac{ax}{x - 1}(a\neq0)$在$(-1,1)$上的单调性.

答案： 解　方法一　定义法 　设-1＜x1＜x2＜1, 　因为f(x)=a($\frac{x-1+1}{x-1}$)=a(1+$\frac{1}{x - 1}$)，所以f(x1)-f(x2) 　=a(1+$\frac{1}{x_1 - 1}$)-a(1+$\frac{1}{x_2 - 1}$) 　=$\frac{a(x_2 - x_1)}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)}$， 　由于-1＜x1＜x2＜1, 　所以x2-x1＞0,x1-1＜0,x2-1＜0,故当a＞0时，f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 　当a＜0时，f(x1)-f(x2)＜0, 　即f(x1)＜f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增 　方法二　导数法 　f'(x)=$\frac{(ax)'(x - 1)-ax(x - 1)'}{(x - 1)^2}$= 　$\frac{a(x - 1)-ax}{(x - 1)^2}$=-$\frac{a}{(x - 1)^2}$. 　故当a＞0时，f'(x)＜0,函数f(x) 　在(-1，1)上单调递减; 　当a＜0时，f'(x)＞0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增