《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

4. 已知不等式$x^{2}-ax - b＜0$的解集为$(2,3)$，则$a + b = $__________.

答案： -1

例 1（多选）下列选项中，正确的是 （ ）
A. 不等式$x^{2}+x - 2＞0$的解集为$\{x|x＜-2$或$x＞1\}$
B. 不等式$\frac{2x + 1}{x - 2}\leqslant1$的解集为$\{x|-3\leqslant x＜2\}$
C. 不等式$|x - 2|\geqslant1$的解集为$\{x|1\leqslant x\leqslant3\}$
D. 设$x\in\mathbf{R}$，则“$|x - 1|＜1$”是“$\frac{x + 4}{x - 5}＜0$”的充分不必要条件

答案： ABD

例 2 已知函数$f(x)=ax^{2}+(b - 2)x + 3$.
(1)若不等式$f(x)＞0$的解集为$\{x|-1＜x＜3\}$，求$a$，$b$的值；
(2)若$b = - a$，求不等式$f(x)\leqslant1$的解集.

答案： 解
(1)由题意得，-1和3是方程ax² + (b - 2)x + 3 = 0的两个根，且a ＜ 0， 则{3/a = (-1)×3, -(b - 2)/a = (-1) + 3}， 解得{a = -1, b = 4}。
(2)当b = -a时，不等式f(x) ≤ 1， 即ax² - (a + 2)x + 2 ≤ 0， 即(ax - 2)(x - 1) ≤ 0。 ①当a = 0时，-2x + 2 ≤ 0，解得x ≥ 1； ②当a ＜ 0时，不等式可化为(x - 1)(x - 2/a) ≥ 0， 解得x ≤ 2/a或x ≥ 1； ③当a ＞ 0时，不等式可化为(x - 1)(x - 2/a) ≤ 0， 若1 ＜ 2/a，即0 ＜ a ＜ 2，解得1 ≤ x ≤ 2/a； 若1 = 2/a，即a = 2，解得x = 1； 若1 ＞ 2/a，即a ＞ 2，解得2/a ≤ x ≤ 1。 综上所述，当a = 0时，解集为{x | x ≥ 1}；当a ＜ 0时，解集为{x | x ≤ 2/a或x ≥ 1}；当0 ＜ a ＜ 2时，解集为{x | 1 ≤ x ≤ 2/a}；当a = 2时，解集为{x | x = 1}；当a ＞ 2时，解集为{x | 2/a ≤ x ≤ 1}。

跟踪训练 1 设函数$f(x)=ax^{2}-(1 + a)x + 1$.
(1)若$a = - 2$，解不等式$f(x)＞0$；
(2)若$a＞0$，解关于$x$的不等式$f(x)＜0$.

答案： 解
(1)当a = -2时，由f(x) = -2x² + x + 1 ＞ 0， 即(2x + 1)(x - 1) ＜ 0， 解得 -1/2 ＜ x ＜ 1， 故当a = -2时，不等式f(x) ＞ 0的解集为{x | -1/2 ＜ x ＜ 1}。
(2)由f(x) ＜ 0，可得(ax - 1)(x - 1) ＜ 0， 所以(ax - 1)(x - 1) = 0的两根为x₁ = 1，x₂ = 1/a。 当0 ＜ a ＜ 1时，1/a ＞ 1， 解得1 ＜ x ＜ 1/a； 当a = 1时，原不等式即为(x - 1)² ＜ 0，该不等式的解集为∅； 当a ＞ 1时，1/a ＜ 1，解得1/a ＜ x ＜ 1。 综上所述，当0 ＜ a ＜ 1时，原不等式的解集为{x | 1 ＜ x ＜ 1/a}；当a = 1时，原不等式的解集为∅；当a ＞ 1时，原不等式的解集为{x | 1/a ＜ x ＜ 1}。