《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1 (1)(2023·扬州模拟)已知方程$x^{2}+(m - 2)x+5 - m = 0$的两根都大于2，则实数m的取值范围是 （ ）
A. (-5,-4]∪[4,+∞)
B. (-5,-4]
C. (-5,+∞)
D. [-4,-2)∪[4,+∞)
(2)(2023·苏州模拟)若函数$f(x)=(m - 2)x^{2}+mx+2m + 1$的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是 （ ）
A. $(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})$
B. $(-\frac{1}{4},\frac{1}{2})$
C. $(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$
D. $[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$

答案：
(1)B
(2)C

跟踪训练1 (1)设a为实数，若方程$x^{2}-2ax+a = 0$在区间(-1,1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 （ ）
A. (-∞,0)∪(1,+∞)
B. (-1,0)
C. $(-\frac{1}{3},0)$
D. $(-\frac{1}{3},0)$∪(1,+∞)
(2)(2023·郴州模拟)(多选)已知函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}+2x + 1,x＜0,\\|\ln x - 2|,x＞0,\end{cases}$若方程$f(x)=k(k\in\mathbf{R})$有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$，则 （ ）
A. 0＜k＜1
B. $x_{1}+x_{2}=-1$
C. e＜$x_{3}＜e^{2}$
D. 0＜$x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}＜e^{4}$

答案：
(1)C

例2 已知定义在R上的奇函数满足$f(2 - x)+f(x)=0$，当$x\in(0,1]$时，$f(x)=-\log_{2}x$，若函数$F(x)=f(x)-\sin\pi x$在区间[-1,m]上有10个零点，则m的取值范围是 （ ）
A. [3.5,4)
B. (3.5,4]
C. (5,5.5]
D. [5,5.5)

答案： A [由 $f(2 - x)+f(x)=0\Rightarrow f(x)= - f(2 - x)=f(x - 2)$，得 $f(x)$ 是一个周期为2的奇函数，当 $x\in(0,1]$ 时，$f(x)=-\log_{2}x$，因此 $f(\frac{1}{2})=-\log_{2}\frac{1}{2}=1$，$f(1)=0$，所以 $f(0)=0$，$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(-1)=0$，且 $g(x)=\sin\pi x$ 的周期为 $T = \frac{2\pi}{\pi}=2$，且 $g(-1)=0$，$g(-\frac{1}{2})=-1$，$g(0)=0$，$g(\frac{1}{2})=1$，$g(1)=0$，求 $F(x)=f(x)-\sin\pi x$ 的零点个数，即求 $f(x)$ 与 $g(x)$ 图象的交点个数，如图为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 的图象，因为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，若在区间 $[-1,m]$ 上有10个零点，则第10个零点坐标为 $(3.5,-1)$，第11个零点坐标为 $(4,0)$，因此 $3.5\leqslant m＜4$。]