《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例4 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}-3\lambda n$，则“$\lambda＜1$”是“数列$\{ a_{n}\}$为递增数列”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： C　[若数列$\{ a_{n}\}$为递增数列，则$a_{n + 1}-a_{n}=[(n + 1)^{2}-3\lambda(n + 1)]-(n^{2}-3\lambda n)=(n^{2}+2n + 1-3\lambda n-3\lambda)-(n^{2}-3\lambda n)=2n + 1-3\lambda＞0$，即$3\lambda＜2n + 1$，由于$n\in N^{*}$，所以$3\lambda＜2\times1 + 1 = 3$，解得$\lambda＜1$，反之，当$\lambda＜1$时，$a_{n + 1}-a_{n}＞0$，则数列$\{ a_{n}\}$为递增数列，所以“$\lambda＜1$”是“数列$\{ a_{n}\}$为递增数列”的充要条件]

例5 若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=2$，$a_{n + 1}=\frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$，则$a_{2024}$的值为 （ ）
A.2
B.-3
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： D　[由题意知，$a_{1}=2$，$a_{2}=\frac{1 + 2}{1 - 2}=-3$，$a_{3}=\frac{1 - 3}{1 + 3}=-\frac{1}{2}$，$a_{4}=\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$，$a_{5}=\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=2$，$a_{6}=\frac{1 + 2}{1 - 2}=-3$，...，因此数列$\{ a_{n}\}$是周期为4的周期数列，所以$a_{2024}=a_{506\times4}=a_{4}=\frac{1}{3}$.]

例6 数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=\frac{3n - 7}{2^{n - 1}}$，则当$n=$________时，$b_{n}$取最大值为__________.

答案： 4　$\frac{5}{8}$ 解析　方法一　$b_{n}-b_{n - 1}=\frac{3n - 7}{2^{n - 1}}-\frac{3n - 10}{2^{n - 2}}=\frac{13 - 3n}{2^{n - 1}}$.
∴当$n\leqslant4$时，$b_{n}＞b_{n - 1}$，
∴$\{ b_{n}\}$单调递增，当$n\geqslant5$时，$b_{n}＜b_{n - 1}$，
∴$\{ b_{n}\}$单调递减，故当$n = 4$时，$(b_{n})_{max}=b_{4}=\frac{5}{8}$ 方法二　令$\begin{cases}b_{n}\geqslant b_{n + 1}\\\frac{3n - 7}{2^{n - 1}}\geqslant\frac{3n - 4}{2^{n}}\\\frac{3n - 7}{2^{n - 1}}\geqslant\frac{3n - 10}{2^{n - 2}}\end{cases}$，解得$\frac{10}{3}\leqslant n\leqslant\frac{13}{3}$，又$n\in N^{*}$，故$n = 4$，故当$n = 4$时，$(b_{n})_{max}=b_{4}=\frac{5}{8}$

跟踪训练3 (1)(2024·安康模拟)已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1}=a_{2}=1$，$a_{3}=a_{4}=2$，$a_{n}+a_{n + 4}=0$，则 （ ）
A.$S_{23}＞S_{21}＞S_{22}$ B.$S_{21}＞S_{22}＞S_{23}$
C.$S_{21}＞S_{23}＞S_{22}$ D.$S_{23}＞S_{22}＞S_{21}$
(2)已知数列$\{ a_{n}\}$的通项$a_{n}=\frac{2n - 19}{2n - 21},n\in N^{*}$，则数列$\{ a_{n}\}$前20项中的最大项与最小项的值分别为__________.

答案：
(1)B　
(2)3，-1

1.等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母________表示，定义表达式为____________________.
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有___________.

答案： 1.
(1)2　同一个常数　d 　a=aₙ₋₁=d(常数)(n≥2，n∈N)　
(2)2A=a+b

2.等差数列的有关公式
(1)通项公式：$a_{n}=$___________.
(2)前n项和公式：$S_{n}=$___________或$S_{n}=$___________.

答案： 2.
(1)a₁+(n - 1)d 　
(2)na₁+$\frac{n(n - 1)}{2}$d　$\frac{n(a₁ + aₙ)}{2}$

3.等差数列的常用性质
(1)若$\{ a_{n}\}$为等差数列，且$p + q = s + t$，则____________________($p,q,s,t\in N^{*}$).
(2)等差数列$\{ a_{n}\}$的单调性
当$d＞0$时，$\{ a_{n}\}$是________数列；
当$d＜0$时，$\{ a_{n}\}$是________数列；
当$d = 0$时，$\{ a_{n}\}$是________.

答案： 3.
(1)aₚ + a_q = a_s + a_t　
(2)递增　递减　常数列