《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练1（2023·咸阳模拟）已知函数$f(x)=\frac{\sin x}{e^{x}}(x\in\mathbf{R})$.
（1）求$f(x)$的图象在点$(0,f(0))$处的切线方程；
（2）求证：当$x\in[0,\pi]$时，$f(x)\leq x$.
（2）当$a = e$时，证明：$xf(x)-e^{x}+2ex\leq0$.

答案： 所以切点坐标为(0,0)，斜率为$f^\prime(0)=\frac{\cos0 - \sin0}{e^0}=1$，所以所求切线方程为$x - y = 0$. 证明$f(x)\leq x(x\in[0,\pi])$：因为$e^x＞0$，要证$\frac{\sin x}{e^x}\leq x(x\in[0,\pi])$，即证$xe^x - \sin x\geq0(x\in[0,\pi])$，令$g(x)=xe^x - \sin x$，$x\in[0,\pi]$，则$g^\prime(x)=e^x+xe^x - \cos x$，令$h(x)=e^x+xe^x - \cos x$，$x\in[0,\pi]$，则$h^\prime(x)=2e^x+xe^x+\sin x＞0$在$[0,\pi]$上恒成立，所以$h(x)$在$[0,\pi]$上单调递增，则$h(x)\geq h(0)=0$，所以$g^\prime(x)\geq0$在$[0,\pi]$上恒成立，即$g(x)$在$[0,\pi]$上单调递增，所以$g(x)\geq g(0)=0$，即$xe^x - \sin x\geq0(x\in[0,\pi])$，综上，当$x\in[0,\pi]$时，$f(x)\leq x$.

跟踪训练2（2023·合肥模拟）已知函数$f(x)=e^{x}+x^{2}-x - 1$.
（1）求$f(x)$的最小值；
（2）证明：$e^{x}+x\ln x+x^{2}-2x＞0$.

答案： （1）解　由题意可得$f^\prime(x)=e^x+2x - 1$，则函数$f^\prime(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，且$f^\prime(0)=0$.由$f^\prime(x)＞0$，得$x＞0$；由$f^\prime(x)＜0$，得$x＜0$.则$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增，故$f(x)_{\min}=f(0)=0$. （2）证明　要证$e^x+x\ln x+x^2 - 2x＞0$，即证$e^x+x^2 - x - 1＞-x\ln x+x - 1$，由（1）可知当$x＞0$时，$f(x)＞0$恒成立.设$g(x)=-x\ln x+x - 1$，$x＞0$，则由$g^\prime(x)=-\ln x＞0$，得$0＜x＜1$；由$g^\prime(x)＜0$，得$x＞1$.则$g(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减，从而$g(x)\leq g(1)=0$，当且仅当$x = 1$时，等号成立.故$f(x)＞g(x)$，即$e^x+x\ln x+x^2 - 2x＞0$.

例2 已知函数$f(x)=e\ln x-ax(a\in\mathbf{R})$.
（1）讨论$f(x)$的单调性；

答案： （1）解　$f^\prime(x)=\frac{e}{x}-a(x＞0)$， ①若$a＜0$，则$f^\prime(x)＞0$，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增； ②若$a＞0$，则当$0＜x＜\frac{e}{a}$时，$f^\prime(x)＞0$，当$x＞\frac{e}{a}$时，$f^\prime(x)＜0$，故$f(x)$在$(0,\frac{e}{a})$上单调递增，在$(\frac{e}{a},+\infty)$上单调递减.