《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

3. 已知$0\lt x\lt1$，则$x(1 - x)$的最大值为（ ）
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{8}$
C. $\frac{1}{16}$
D. 1

答案： A

例 1 （1）若$0\lt a\lt b$，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. $b\gt\frac{a + b}{2}\gt a\gt\sqrt{ab}$
B. $b\gt\sqrt{ab}\gt\frac{a + b}{2}\gt a$
C. $b\gt\frac{a + b}{2}\gt\sqrt{ab}\gt a$
D. $b\gt a\gt\frac{a + b}{2}\gt\sqrt{ab}$
（2）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，$C$为线段$AB$上的点，且$AC = a$，$BC = b$，$O$为$AB$的中点，以$AB$为直径作半圆，过点$C$作$AB$的垂线交半圆于点$D$，连接$OD$，$AD$，$BD$，过点$C$作$OD$的垂线，垂足为点$E$，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A. $\frac{a + b}{2}\leq\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)$
B. $a^{2}+b^{2}\geq2ab(a\gt0,b\gt0)$
C. $\sqrt{ab}\geq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}(a\gt0,b\gt0)$
D. $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq\frac{a + b}{2}(a\gt0,b\gt0)$

答案： （1）C　（2）C

跟踪训练 1 （1）已知$p:a\gt b\gt0$，$q:\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\gt(\frac{a + b}{2})^{2}$，则$p$是$q$成立的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
（2）（多选）已知$a$，$b\in\mathbf{R}$，则下列不等式成立的是（ ）
A. $\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$
B. $\frac{a + b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$
C. $\frac{2ab}{a + b}\leq\frac{a + b}{2}$
D. $ab\leq\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$

答案： （1）A　（2）BD

例 2 （1）（多选）下列代数式中最小值为 2 的是（ ）
A. $x-\frac{1}{x}$
B. $2^{x}+2^{-x}$
C. $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$
D. $\sqrt{x^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}}$
（2）已知$x$，$y$为正实数，且满足$4x + 3y = 12$，则$xy$的最大值为________.

答案： （1）BC　[选项A中，当$x＜0$时，函数$y = x - \frac{1}{x}$单调递增，无最小值，不符合题意；选项B中，$2^{x}+2^{-x}\geq2\sqrt{2^{x}\cdot2^{-x}} = 2$，当且仅当$x = 0$时，等号成立，满足题意；选项C中，$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geq2\sqrt{x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}} = 2$，当且仅当$x = ±1$时，等号成立，满足题意；选项D中，$\sqrt{x^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}}\geq2\sqrt{\sqrt{x^{2}+2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}}} = 2$，当且仅当$\sqrt{x^{2}+2}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}}$时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意。]（2）3

例 3 （1）（2023·许昌模拟）已知$a$，$b$为正数，$4a^{2}+b^{2}=7$，则$a\sqrt{1 + b^{2}}$的最大值为（ ）
A. $\sqrt{7}$ B. $\sqrt{3}$ C. $2\sqrt{2}$ D. 2
（2）已知$x\gt1$，则$\frac{x^{2}+3}{x - 1}$的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

答案： （1）D　（2）A