《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1.复数的有关概念
(1)复数的定义：形如$a + bi(a,b\in\mathbf{R})$的数叫做复数，其中________是复数$z$的实部，________是复数$z$的虚部，i为虚数单位.
(2)复数的分类：
复数$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R})$

(3)复数相等：
$a + bi = c + di\Leftrightarrow$________$(a,b,c,d\in\mathbf{R})$.
(4)共轭复数：
$a + bi$与$c + di$互为共轭复数$\Leftrightarrow$________$(a,b,c,d\in\mathbf{R})$.
(5)复数的模：
向量$\overrightarrow{OZ}$的模叫做复数$z = a + bi$的模或绝对值，记作________或________，即$|z| = |a + bi|=$________$(a,b\in\mathbf{R})$.

答案：
(1)a　b　
(2)=　≠　=
(3)a=c且b=d　
(4)a=c,b=-d
(5)|z|　|a + bi|　$\sqrt{a^2 + b^2}$

3.复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设$z_1 = a + bi,z_2 = c + di(a,b,c,d\in\mathbf{R})$，则
①加法：$z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di)=$________；
②减法：$z_1 - z_2 = (a + bi) - (c + di)=$________；
③乘法：$z_1\cdot z_2 = (a + bi)\cdot (c + di)=$________；
④除法：$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a + bi}{c + di}=\frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}=$________$(c + di\neq0)$.
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形$OZ_1ZZ_2$可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即$\overrightarrow{OZ}=$________，$\overrightarrow{Z_1Z_2}=$________.

答案：

(1)①$(a + c) + (b + d)i$　②$(a - c) + (b - d)i$　③$(ac - bd) + (ad + bc)i$　④$\frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$
(2)

【自主诊断】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数$z = 0$没有共轭复数. ( )
(2)复数可以比较大小. ( )
(3)已知$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，当$a = 0$时，复数$z$为纯虚数. ( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( )

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√

2.(必修第二册P95T1(3)改编)已知复数$z = i^3(1 + i)$，则$z$在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： D

3.(2023·合肥模拟)已知i是虚数单位，若$|1 + ai| = 5$，则实数$a$等于 ( )
A.2
B.$2\sqrt{6}$
C.$-2$
D.$\pm 2\sqrt{6}$

答案： D

4.已知复数$z$满足$z(1 - i)=i$(i为虚数单位)，则$z$的虚部为________.

答案： $\frac{1}{2}$