《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

典例 化简下列各式.
(1)$\sin 54^{\circ}-\sin 18^{\circ}=$________；
(2)$\cos 146^{\circ}+\cos 94^{\circ}+2\cos 47^{\circ}\cos 73^{\circ}=$________.

答案： 典例
(1)$\frac{1}{2}$　
(2)-$\frac{1}{2}$ 　解析　
(1)由和差化积公式可得，sin54° - sin18°=2cos36°.sin18°=2×$\frac{2sin18cos18cos36°}{2cos18°}$ 　=$\frac{2sin36°cos36}{2cos18°}$=$\frac{sin72°}{2cos18°}$ 　=$\frac{cOs18}{2cos18°}$=$\frac{1}{2}$ 　
(2)由和差化积和积化和差公式可得，cos146°+cos94°+2cos47。cos73°=2cos120。cos26°+2×$\frac{1}{2}$(cos120°十cos26°) 　=2×(-$\frac{1}{2}$)cs26°+(-$\frac{1}{2}$)+cs26°=-$\frac{1}{2}$

跟踪训练1 (1)(2023·成都联考)已知$\theta\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，$\frac{16}{3}\cos^{2}\frac{\theta}{2}=1 + \cos 2\theta$，则$\tan\theta$等于（ ）
A. $-\frac{\sqrt{5}}{3}$ B. $-\frac{\sqrt{5}}{2}$ C. $-\frac{3\sqrt{5}}{5}$ D. $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
(2)已知$0\lt\theta\lt\pi$，则$\frac{(1 + \sin\theta + \cos\theta)(\sin\frac{\theta}{2}-\cos\frac{\theta}{2})}{\sqrt{2 + 2\cos\theta}}=$________.

答案： 跟踪训练1
(1)B
(2)-cos日

例2 (2024·保定模拟)黄金三角形有两种，一种是顶角为$36^{\circ}$的等腰三角形，另一种是顶角为$108^{\circ}$的等腰三角形. 已知在顶角为$36^{\circ}$的黄金三角形中，$36^{\circ}$角对应边与$72^{\circ}$角对应边的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，这个值被称为黄金比例. 若$t = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则$\frac{1 - 2\sin^{2}27^{\circ}}{2t\sqrt{4 - t^{2}}}$等于（ ）
A. $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
B. $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$

答案： 例2D　　[依题意，得t=$\frac{sin36}{sin72°}$= 　$\frac{sin144°}{sin72°}$=2cos72°, 　则$\frac{1 - 2sin27°}{2t\sqrt{4 - ²}}$=$\frac{COs54}{4cos72°\sqrt{4 - (2cos72°}}$ 　=$\frac{cos54}{4cos72°\sqrt{4sin72°}}$ =$\frac{COs54°}{4cos72°.2sin72°}$ 　　=$\frac{sin36}{4sin144°}$=$\frac{1}{4}$.]

例3 (2023·济宁模拟)已知$\cos(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\sin(2\alpha-\frac{\pi}{6})$等于（ ）
A. $-\frac{2}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{3}$

答案： 例3D[sin(2a - /|) | 　　=sin[2(α + $\frac{π}{6}$)-1/] 　　=-cos2(α + $\frac{π}{6}$) 　　=1 - 2cos²(a + /) 　　=1 - 2×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$二

例4 已知$\alpha,\beta$均为锐角，$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，$\sin\beta=\frac{3\sqrt{3}}{14}$，则$\cos 2\alpha=$________，$2\alpha - \beta=$________.

答案： 例4$\frac{1}{7}$　$\frac{π}{3}$ 　　解析　因为cosa=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$， 　　所以COs2a=2cos²a - 1=$\frac{1}{7}$ 　　又因为α,β均为锐角，sinβ=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$,所以sinα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,cOsβ=$\frac{13}{14}$, 　　因此sin2a=2sinacosa=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，所以sin(2a - β) 　　=sin2acosβ - cos2asinβ 　　=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{13}{14}$ - $\frac{1}{7}$×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 　　因为α为锐角，所以0＜2a＜π. 　　又cos2a＞0, 　　所以0＜2a＜$\frac{π}{2}$, 　　又B为锐角， 　　所以-1/|＜2α - K＜$\frac{π}{2}$, 　　又sin(2a - β)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$, 　　所以2a - β=$\frac{π}{3}$:

跟踪训练2 (1)已知$\cos(x-\frac{\pi}{10})=-\frac{4}{5}$，则$\sin(2x+\frac{3\pi}{10})=$________.
(2)(2023·青岛统考)已知$\alpha$为锐角，$1+\frac{\sqrt{3}}{\tan 80^{\circ}}=\frac{1}{\sin\alpha}$，则$\alpha=$________.

答案： 跟踪训练2
(1)$\frac{7}{25}$　
(2)50°

例5 (2023·广州模拟)若$\alpha,\beta\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，且$(1 - \cos 2\alpha)(1 + \sin\beta)=\sin 2\alpha\cos\beta$，则下列结论正确的是（ ）
A. $2\alpha+\beta=\frac{5\pi}{2}$
B. $2\alpha - \beta=\frac{3\pi}{4}$
C. $\alpha+\beta=\frac{7\pi}{4}$
D. $\alpha - \beta=\frac{\pi}{2}$

答案： 例5A　[
∵α.β∈($\frac{π}{2}$,π):
　
∴sinα≠0,
　
∵(1 - cos2a)(1 + sinβ)=sin2acosB
∴2sin²a(1 + sinβ)=2sinacosαcosB
∴即ssiinnaα=(1c + ossaincoβs)β=-cossinαacsoisnββ 　　=COs(α + β),
　
∴cos(a + β)=cos($\frac{π}{2}$ - a):
　
∵α,β∈($\frac{π}{2}$,π)，
　
∴π＜a + β＜2π,且/＜/a＜0,
∴α + β=π2　α + 2π, 　　解得2α + β=.]

跟踪训练3 (2024·哈尔滨模拟)已知$\frac{\pi}{4}\lt\theta\lt\frac{\pi}{3}$，若$a = \frac{\tan\theta}{\tan^{2}\theta + 1}$，$b = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2\theta$，$c = \frac{1}{\cos\theta}-\cos\theta$，则$a,b,c$的大小关系是（ ）
A. $c\gt a\gt b$
B. $b\gt c\gt a$
C. $c\gt b\gt a$
D. $b\gt a\gt c$

答案： 跟踪训练3C