《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1（1）若$e^{a}+a＞b+\ln b$（$a$，$b$为变量）成立，则下列选项正确的是 （ ）
A. $a＞\ln b$ B. $a＜\ln b$
C. $\ln a＞b$ D. $\ln a＜b$
（2）若关于$a$的方程$a e^{a - 2}=e^{t}$和关于$b$的方程$b(\ln b - 2)=e^{3t - 1}$（$a$，$b\in\mathbf{R}_{+}$）可化为同构方程，则$ab$的值为 （ ）
A. $e^{8}$ B. $e$ C. $\ln 6$ D. 1

答案： 例1
(1)A[方法一　由e°+a＞b+lnb，可得e+a＞en+lnb, 　令f(x)=e+x，则f(a)＞f(1nb),因为∮(x)在R上是增函数， 　所以a＞1nb. 　方法二　由e。+a＞b+1nb, 　可得e+1nea＞b+1nb, 　令g(x)=x+1nx，则g(e”)＞g(b),因为g(x)在(0，+8)上是增函数，所以e＞b，即a＞1nb.] 　
(2)A　[对ae-²=e两边取自然对数，得1na+a=6，　　　　　　　　①对b(1nb-2)=e-¹两边取自然对数，得1nb+1n(1nb-2)=3λ-1,即1nb-2+1n(1nb-2)=3λ-3，②因为方程①②为两个同构方程， 　所以3λ-3=6，解得λ=3, 　设F(x)=1nx+x,x＞0, 　则F,(x)=$\frac{1}{x}$+1＞0. 　所以F(x)在(0,+8。)上单调递增，所以方程F(x)=6的解只有一个,所以a=1nb-2，所以ab=(1nb-2)b= 　b(1nb-2)=e³x³-¹=e⁸.]

跟踪训练1 已知不等式$ax + e^{ax}＞\ln(bx)+bx$进行指对同构时，可以构造的函数是 （ ）
A. $f(x)=\ln x + x$
B. $f(x)=x\ln x$
C. $f(x)=x e^{x}$
D. $f(x)=\frac{x}{e^{x}}$

答案： 跟踪训练1　A

例2 设实数$k＞0$，对于任意的$x＞1$，不等式$k e^{kx}\geqslant\ln x$恒成立，则$k$的最小值为_______.

答案： 例2$\frac{1}{e}$ 　解析　由ke≥Inx得kxe≥xlnx，即kxe≥elr.Inx, 　令f(x)=xer，则∮(kx)≥f(lnx).因为f'(x)=(x+1)e², 　所以∮(x)在(-1，+80)上单调递增，因为kx＞0,1nx＞0.所以kx≥1nx,即k≥$\frac{lnx}{x}$, 　令h(x)=1nxx(x＞1)， 　则h、(x)=$\frac{1一In}{x²}$, 　当x∈(1,e)时，h'(x)＞0，h(x)单调递增， 　当x∈(e,+∞)时，h'(x)＜0，h(x) 　单调递减， 　所以h(x)mBX=h(e)=$\frac{1}{e}$，即k≥$\frac{1}{e}$，所以k的最小值为$\frac{1}{e}$

例3 （2023·南京模拟）设$a$，$b$都为正数，$e$为自然对数的底数，若$a e^{a}＜b\ln b$，则 （ ）
A. $ab＞e$
B. $b＞e^{a}$
C. $ab＜e$
D. $b＜e^{a}$

答案： 例3　B　[由ae°＜blnb, 　得e1ne°＜blnb. 　设f(x)=x1nx(x＞0), 　因为a＞0,则e＞1, 　因为b＞0，且b1nb＞ae²＞0，则b＞1.当x＞1时，f¹(x)=1nx+1＞0, 　则f(x)在(1，+∞)上单调递增， 　eα1ne＜b1nb，即f(e)＜∮(b), 　所以e＜b.]

例4 若关于$x$的不等式$\frac{x+\ln a}{e^{x}}-\frac{a\ln x}{x}＞0$对$\forall x\in(0,1)$恒成立，则实数$a$的取值范围为 （ ）
A. $(-\infty,\frac{1}{e}]$
B. $[\frac{1}{e},+\infty)$
C. $[\frac{1}{e},1)$
D. $(0,\frac{1}{e}]$

答案： 例4B　[由题意可知a＞0，$\frac{lne+lna}{e}$ 　＞$\frac{aInx}{I}$，即$\frac{lnae²}{ae}$＞$\frac{ln}{x}$对Lx∈(0,1)恒成立，设g(x)=1nxx，则问题转化为g(aer)＞g(x)在(0,1)上恒成立，因为g'(x)=$\frac{1-ln}{x²}$，所以当0＜x＜e时，g′(x)＞0，当x＞e时，g'(x)＜0，所以g(x)在(o,e)上单调递增，在(e，+o)上单调递减，又g
(1) =0，所以当x∈(0,1)时,g(x)＜0;当x∈(1,+∞)时，g(x)＞0.①在x∈(0,1)上，若ae≥1恒成立，即a≥1,g(ae²)≥0＞g(x);②在x∈(0,1) 　上，若0＜ae'＜1,则ae'＞x恒成立，即$\frac{r}{e}$＜a＜1恒成立，令h(x)=$\frac{x}{e}$，x∈(0,1),则h！(x)=1二x＞0,所以e 　h(x)在(0,1)上单调递增，所以h(x) 　＜h
(1)=$\frac{1}{e}$，所以$\frac{1}{e}$≤a＜1，综上所述，实数a的取值范围为[$\frac{1}{e}$,+0).]

例5 对于任意的$x＞0$，$e^{x}\geqslant(a - 1)x+\ln(ax)$恒成立，则$a$的最大值是_______.

答案： 例5e 　解析　由e'≥(a-1)x+n(ax)，可得e+x≥ax+in(ax), 　即e+x≥enar)+ln(ax), 　令∮(x)=e十x，则f(x)≥f(1n(ax))，因为f(x)在R上是增函数， 　所以x≥1n(αx)，即a≤$\frac{e}{x}$, 　令h(x)=$\frac{e}{r}$(x＞0)， 　则h(x)=$\frac{(x-1)e}{x²}$, 　当x∈(0,1)时，h'(x)＜0,h(x)单调递减; 　当x∈(1,+∞)时，h'(x)＞0,h(x) 　单调递增， 　所以h(x)mm=h
(1)=e，即a≤e, 　所以a的最大值是e

跟踪训练2 （1）（2024·武汉模拟）已知$a＞0$，若在$(1,+\infty)$上存在$x$使得不等式$e^{x}-x\leqslant x^{a}-a\ln x$成立，则$a$的最小值为_______.
（2）若对任意$x\in[e,+\infty)$，满足$2x^{3}\ln x - m e^{\frac{m}{x}}\geqslant0$恒成立，则实数$m$的取值范围是____________________.

答案： 跟踪训练2　
(1)e　
(2)(-∞,2e]