《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1. 判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y = 1/2 x^(1/2)是幂函数. ( )
(2)若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0. ( )
(3)二次函数y = a(x - 1)^2 + 2的单调递增区间是[1，+∞). ( )
(4)若幂函数y = x^α是偶函数，则α为偶数. ( )

答案：
(1)×　
(2)√　
(3)×　
(4)×

2. 已知幂函数y = f(x)的图象过点(8，2√2)，则f(9)的值为 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 9

答案： B

3. (2023·南京模拟)已知函数f(x)=x^2 - 2x + 2，x∈(-2，2)，则函数f(x)的值域为 ( )
A. (2，10)
B. [1，2]
C. [2，10]
D. [1，10)

答案： D

4. 已知函数f(x)=x^2 + 2(a - 1)x + 2在区间(-∞，-3]上单调递减，则实数a的取值范围是________.

答案： (-∞,4]

例2 已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.

答案： 方法一　(利用“一般式”解题)设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)。由题意得$\begin{cases}4a + 2b + c = -1\\a - b + c = -1\\\frac{4ac - b²}{4a} = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -4\\b = 4\\c = 7\end{cases}$。所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x²+4x+7。方法二　(利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x - m)² + n(a≠0)。因为f
(2)=f(-1)，所以抛物线的对称轴为x = $\frac{2 + (-1)}{2}$ = $\frac{1}{2}$，所以m = $\frac{1}{2}$。又根据题意，函数有最大值8，所以n = 8，所以f(x)=a(x - $\frac{1}{2}$)² + 8。因为f
(2)=a(2 - $\frac{1}{2}$)² + 8 = -1，解得a = -4，所以f(x)=-4(x - $\frac{1}{2}$)² + 8 = -4x²+4x+7。方法三　(利用“零点式”解题)由已知得f(x)+1 = 0的两根为x₁ = 2，x₂ = -1，故可设f(x)+1 = a(x - 2)(x + 1)(a≠0)，即f(x)=ax² - ax - 2a - 1。又函数有最大值8，即$\frac{4a(-2a - 1) - (-a)²}{4a} = 8$，解得a = -4。故所求函数的解析式为f(x)=-4x²+4x+7。