《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1（1）（2023·宣城模拟）方程$\frac{\ln x}{x}-\frac{e}{x}+1 = 0$的根所在的区间是（参考数据：$\ln 2\approx0.69,\ln 3\approx1.10$）（ ）
A. $(1,2)$ B. $(2,e)$ C. $(e,3)$ D. $(3,4)$
（2）用二分法求方程$\frac{\ln x}{x}-\frac{e}{x}+1 = 0$在区间$(2,3)$内的根的近似值，至少经过______次二分后精确度达到$0.1$（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

答案：
(1)B[对于方程$\frac{ln}{x}$-$\frac{e}{x}$+1=0，有x＞0,可得x+1nx-e=0， 　令f(x)=x+1nx-e,其中x＞0,因为函数y=x-e，y=1nx均在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，十8。)上单调递增， 　因为f
(1)=1-e＜0,f
(2)=2+1n2 -e＜0,f(e)=1＞0, 　所以∮
(2)f(e)＜0， 　由函数零点存在定理可知,函数f(x) 　的零点在区间(2,e)内，则方程$\frac{lnr}{x}$-$\frac{e}{x}$+1=0的根所在的区间是(2,e).] 　
(2)C

跟踪训练1（1）若$a ＜ b ＜ c$，则函数$f(x)=(x - a)(x - b)+(x - b)(x - c)+(x - c)(x - a)$的两个零点分别位于区间（ ）
A. $(a,b)$和$(b,c)$内 B. $(-\infty,a)$和$(a,b)$内 C. $(b,c)$和$(c,+\infty)$内 D. $(-\infty,a)$和$(c,+\infty)$内
（2）函数$f(x)=\log_2x + 2^x - 6$，函数$f(x)$的零点所在的区间为$(n,n + 1)$且$n\in\mathbf{N}$，则$n =$______.

答案：
(1)A　
(2)2

例2（1）（2023·咸阳模拟）函数$f(x)=\begin{cases}x^2 - 1,x\leq0,\\x - 2+\ln x,x＞0\end{cases}$的零点个数为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
（2）（2023·三明模拟）已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且$f(x - 2)=f(x)$，当$0\leq x\leq1$时，$f(x)=x$，设函数$g(x)=f(x)-\log_7|x|$，则函数$g(x)$的零点个数为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 14

答案：

(1)D　[当x≤0时，x²-1=0，解得x=-1; 　当x＞0时,f(x)=x-2+lnx在(0,+8△)上单调递增， 　并且∮
(1)=1-2+1n1=-1＜0,f
(2)=2-2+1n2=ln2＞0, 　即f
(1)f
(2)＜0， 　所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点， 　综上，函数f(x)的零点个数为2.] 　
(2)C　[依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数， 　且∮(x-2)=f(x)， 　所以∮(x)=f(一x)=∮(一x-2) 　=f(x+2), 　即函数f(x)是以2为周期的偶函数，令g(x)=f(x)-1og7|x|=0， 　即∮(x)=1og，|x｜， 　在同一平面直角坐标系中分别作出y =∮(x)和y=log7｜x|的图象，如图所示， 　 由图象可知，两函数图象共有12个交点，即函数g(x)共有12个零点]

跟踪训练2（1）（2024·渭南模拟）函数$f(x)=3^x|\log_2x|-1$的零点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
（2）函数$f(x)=\sqrt{36 - x^2}\cdot\cos x$的零点个数为______.

答案：
(1)C　
(2)6

例3（2023·安阳模拟）已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2 + 2x + 2,x\leq0,\\\ln(x + 1),x＞0\end{cases}$的图象与直线$y = k - x$有3个不同的交点，则实数$k$的取值范围是（ ）
A. $\left(-\frac{1}{4},+\infty\right)$
B. $(0,+\infty)$
C. $\left(-\frac{1}{4},2\right]$
D. $(0,2]$

答案：
D　[如图所示， 　作出函数f(x)的 　大致图象(实线),平 　　　　　　　　 移直线y=k-x， 　由k-x=x²+2x 　+2可得， 　x²+3x+2-k=0， 　 A=9-8+4k=0,解得k=-$\frac{1}{4}$，故当k=-$\frac{1}{4}$时，直线y=一$\frac{1}{4}$二x 与曲线y=x²+2x+2(x≤0)相切;当k=0时，直线y=-x经过点(0.0),且与曲线y=x²+2x+2(x≤0)有2 个不同的交点; 　当k=2时，直线y=2-x经过点(0,2)，且与∮(x)的图象有3个不同的交点。由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x) 　的图象与直线y=k-x有3个不同的交点]

例4（2023·北京模拟）已知函数$f(x)=3^x-\frac{1 + ax}{x}$.若存在$x_0\in(-\infty,-1)$，使得$f(x_0)=0$，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $\left(-\infty,\frac{4}{3}\right)$
B. $\left(0,\frac{4}{3}\right)$
C. $(-\infty,0)$
D. $\left(\frac{4}{3},+\infty\right)$

答案： B　[由f(x)=3r-1+xax=0，可得a=3-$\frac{1}{美}$, 　令g(x)=3-$\frac{1}{x}$，其中x∈(-0，-1)，由于存在x。∈(-8⁵,-1)，使得f(x。)=0， 则实数a的取值范围即为函数g(x) 在(-8,-1)上的值域 由于函数y=3x，y=-$\frac{1}{x}$在区间(-85,-1)上均单调递增， 所以函数g(x)在(-80，-1)上单调递增. 当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3r-$\frac{1}{r}$ ＜g(-1)=3-¹+1=$\frac{4}{3}$, 又当x∈(-∞,-1)时，g(x)=3x-$\frac{1}{x}$＞0, 所以函数g(x)在(-8△，-1)上的值域为(0,$\frac{4}{3}$). 因此实数a的取值范围是(0,$\frac{4}{3}$).]

跟踪训练3（1）（2024·邵阳模拟）已知函数$f(x)=\begin{cases}|\log_2x|,x＞0,\\-x^2 - 4x,x\leq0\end{cases}$若$g(x)=f(x)-a$有4个零点，则实数$a$的取值范围为（ ）
A. $(0,4)$ B. $(0,3)$ C. $(0,2)$ D. $(0,1)$
（2）（2023·天津模拟）函数$f(x)=2a\log_2x + a\cdot4^x + 3$在区间$\left(\frac{1}{2},1\right)$上有零点，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $a＜-\frac{1}{2}$ B. $a＜-\frac{3}{2}$ C. $-\frac{3}{2}＜a＜-\frac{1}{2}$ D. $a＜-\frac{3}{4}$

答案：
(1)A　
(2)D