《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1. 异面直线所成的角
若异面直线$l_1$，$l_2$所成的角为$\theta$，其方向向量分别是$\boldsymbol{u}$，$\boldsymbol{v}$，则$\cos\theta =|\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle|=$___________.

答案： $\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}$     

1. 判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. （ ）
（2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. （ ）
（3）二面角的平面角为$\theta$，则两个平面的法向量的夹角也是$\theta$. （ ）
（4）二面角$\alpha -l-\beta$的平面角与平面$\alpha$，$\beta$的夹角相等. （ ）

答案：
(1)×　　
(2)×　
(3)×　
(4)×

2. 已知向量$\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{n}$分别是直线$l$和平面$\alpha$的方向向量和法向量，若$\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle =-\frac{1}{2}$，则直线$l$与平面$\alpha$所成的角为 （ ）
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $120^{\circ}$
D. $150^{\circ}$

答案： A

3. 已知直线$l_1$的方向向量$\boldsymbol{s}_1=(1,0,1)$与直线$l_2$的方向向量$\boldsymbol{s}_2=(-1,2,-2)$，则直线$l_1$和$l_2$所成角的余弦值为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： C

4. 已知两平面的法向量分别为$\boldsymbol{m}=(0,1,0)$，$\boldsymbol{n}=(0,1,1)$，则两平面所成的二面角为 （ ）
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{3\pi}{4}$
C. $\frac{\pi}{4}$或$\frac{3\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{2}$或$\frac{3\pi}{4}$

答案： C

2. 直线与平面所成的角
如图，直线$AB$与平面$\alpha$相交于点$B$，设直线$AB$与平面$\alpha$所成的角为$\theta$，直线$AB$的方向向量为$\boldsymbol{u}$，平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}$，则$\sin\theta =|\cos\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{n}\rangle|=$___________

答案： $\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}$

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3. 平面与平面的夹角
如图，平面$\alpha$与平面$\beta$相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于$90^{\circ}$的二面角称为平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角.
若平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别是$\boldsymbol{n}_1$和$\boldsymbol{n}_2$，则平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角即为向量$\boldsymbol{n}_1$和$\boldsymbol{n}_2$的夹角或其补角.设平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta =|\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle|=$___________
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答案： $\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}$