《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例 3 (1)（多选）已知关于$x$的一元二次不等式$ax^{2}+bx + c\geqslant0$的解集为$\{x|x\leqslant - 4$或$x\geqslant5\}$，则下列说法正确的是 （ ）
A. $a＞0$
B. 不等式$bx + c＞0$的解集为$\{x|x＜-5\}$
C. 不等式$cx^{2}-bx + a＜0$的解集为$\{x|x＜-\frac{1}{5}$或$x＞\frac{1}{4}\}$
D. $a + b + c＞0$
(2)若方程$x^{2}-4x + a = 0$的两根都在区间$(1,+\infty)$内，则实数$a$的取值范围是__________.

答案：
(1)AC [由题意得，二次函数y = ax² + bx + c的开口向上，即a ＞ 0，故A正确； 因为 -4，5是方程ax² + bx + c = 0的根， 所以{-b/a = -4 + 5, c/a = -4×5}， 解得{b = -a, c = -20a}， 所以bx + c ＞ 0，即 -ax - 20a ＞ 0，解得x ＜ -20，故B错误； 不等式cx² - bx + a ＜ 0等价于 -20ax² + ax + a ＜ 0，即20x² - x - 1 ＞ 0， 即(5x + 1)(4x - 1) ＞ 0， 解得x ＜ -1/5或x ＞ 1/4，故C正确； 因为1 ∉ {x | x ≤ -4或x ≥ 5}， 所以a + b + c ＜ 0，故D错误。]
(2)(3,4] 解析 设方程x² - 4x + a = 0的两根为x₁，x₂， 则x₁ ＞ 1，x₂ ＞ 1， 所以Δ = (-4)² - 4a ≥ 0，x₁ + x₂ ＞ 2，(x₁ - 1)(x₂ - 1) ＞ 0， 由Δ = (-4)² - 4a ≥ 0，解得a ≤ 4； 由x₁ + x₂ ＞ 2，得4 ＞ 2显然成立； 由(x₁ - 1)(x₂ - 1) ＞ 0， 得x₁x₂ - (x₁ + x₂) + 1 ＞ 0， 即a - 4 + 1 ＞ 0，得a ＞ 3， 综上所述，3 ＜ a ≤ 4， 所以实数a的取值范围是(3,4]。

典例 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx + 2m + 1 = 0$.
(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间$(-1,0)$内，另一根在区间$(1,2)$内，求实数$m$的取值范围；
(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间$(0,1)$内，求实数$m$的取值范围.

答案： 解
(1)依题意知，函数f(x) = x² + 2mx + 2m + 1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内，画出示意图， 得{f
(0) = 2m + 1 ＜ 0, f(-1) = 2 ＞ 0, f
(1) = 4m + 2 ＜ 0, f
(2) = 6m + 5 ＞ 0}，即{m ＜ -1/2, m ∈ R, m ＜ -1/2, m ＞ -5/6}， 解得 -5/6 ＜ m ＜ -1/2。 故实数m的取值范围为(-5/6, -1/2)。
(2)依题意知，函数f(x) = x² + 2mx + 2m + 1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内，画出示意图， 得{f
(0) ＞ 0, f
(1) ＞ 0, Δ ＞ 0, 0 ＜ -m ＜ 1}， 即{m ＞ -1/2, m ＞ -1/2, m ＞ 1 + √2或m ＜ 1 - √2, -1 ＜ m ＜ 0}， 解得 -1/2 ＜ m ＜ 1 - √2。 故实数m的取值范围为(-1/2, 1 - √2)。

跟踪训练 2 (1)（多选）已知关于$x$的不等式$a(x + 1)(x - 3)+1＞0(a\neq0)$的解集是$(x_{1},x_{2})(x_{1}＜x_{2})$，则下列结论正确的是 （ ）
A. $x_{1}+x_{2}=2$
B. $x_{1}x_{2}＜-3$
C. $-1＜x_{1}＜x_{2}＜3$
D. $x_{2}-x_{1}＞4$
(2)已知二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + c$，且$f(x)＜0$恰有 3 个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为$f(x)=$____________________.

答案：
(1)ABD
(2)x² - 4x (答案不唯一)

例 4 已知函数$f(x)=mx^{2}-(m - 1)x + m - 1$.
(1)若不等式$f(x)＜1$的解集为$\mathbf{R}$，求$m$的取值范围；
(2)若不等式$f(x)\geqslant0$对一切$x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$恒成立，求$m$的取值范围；
(3)若不等式$f(x)＞2$对一切$m\in(0,2)$恒成立，求$x$的取值范围.

答案： 解
(1)不等式f(x) ＜ 1， 即mx² - (m - 1)x + m - 2 ＜ 0， 当m = 0时，x - 2 ＜ 0，解得x ＜ 2，符合题意； 当m ≠ 0时， 有{m ＜ 0, Δ = [-(m - 1)]² - 4m(m - 2) ＜ 0}， 解得m ＜ (3 - 2√3)/3， 综上所述，m的取值范围为(-∞, (3 - 2√3)/3)。
(2)不等式f(x) ≥ 0对一切x ∈ [-1/2, 1/2]恒成立， 即m(x² - x + 1) ≥ 1 - x对一切x ∈ [-1/2, 1/2]恒成立， 因为x² - x + 1 = (x - 1/2)² + 3/4 ＞ 0， 则不等式等价于m ≥ (1 - x)/(x² - x + 1)对一切x ∈ [-1/2, 1/2]恒成立， 由x ∈ [-1/2, 1/2]， 得(1 - x)/(x² - x + 1) = 1/((x² - x + 1)/(1 - x)) = 1/(-x + 1/(1 - x)) = 1/(1 - x + 1/(1 - x) - 1) ≤ 1/(2√((1 - x)·1/(1 - x)) - 1) = 1， 当且仅当1 - x = 1/(1 - x)，即x = 0时等号成立， 所以((1 - x)/(x² - x + 1))max = 1， 所以m ≥ 1，即m的取值范围是[1, +∞)。
(3)不等式f(x) ＞ 2对一切m ∈ (0,2)恒成立， 即(x² - x + 1)m + x - 3 ＞ 0对一切m ∈ (0,2)恒成立， 令h(m) = (x² - x + 1)m + x - 3， 因为x² - x + 1 = (x - 1/2)² + 3/4 ＞ 0， 所以函数h(m) = (x² - x + 1)m + x - 3在(0,2)上单调递增， 则h
(0) = x - 3 ≥ 0，解得x ≥ 3， 所以x的取值范围为[3, +∞)。