《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

命题点3 直线关于直线的对称问题
例5 两直线方程为$l_1:3x - 2y - 6 = 0$，$l_2:x - y - 2 = 0$，则$l_1$关于$l_2$对称的直线方程为 ( )
A.$3x - 2y - 4 = 0$
B.$2x + 3y - 6 = 0$
C.$2x - 3y - 4 = 0$
D.$3x - 2y - 6 = 0$

答案： C　[设所求直线上任意一点$M(x,y)$，$M$关于直线$x - y - 2 = 0$的对称点为$M_1(x_1,y_1)$，则$\begin{cases}\frac{y - y_1}{x - x_1} = -1 \\ \frac{x + x_1}{2} - \frac{y + y_1}{2} - 2 = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1 = y + 2 \\ y_1 = x - 2 \end{cases}$ ①
∵点$M_1$在直线$3x - 2y - 6 = 0$上，
∴将①式代入，得$3(y + 2) - 2(x - 2) - 6 = 0$，化简得$2x - 3y - 4 = 0$，即为$l_1$关于$l_2$对称的直线方程.]

跟踪训练3 已知直线$l:2x - 3y + 1 = 0$，点$A(-1,-2)$.求：
(1)点$A$关于直线$l$的对称点$A'$的坐标；
(2)直线$m:3x - 2y - 6 = 0$关于直线$l$对称的直线$m'$的方程；
(3)直线$l$关于点$A$的对称直线$l'$的方程.

答案： 解　
(1)设$A'(x,y)$，由已知条件得$\begin{cases}\frac{y + 2}{x + 1}×\frac{2}{3} = -1 \\ 2×\frac{x - 1}{2} - 3×\frac{y - 2}{2} + 1 = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -\frac{33}{13} \\ y = \frac{4}{13} \end{cases}$，所以$A'(-\frac{33}{13},\frac{4}{13})$；
(2)在直线$m$上取一点，如$M(2,0)$，则$M(2,0)$关于直线$l$的对称点$M'$必在直线$m'$上，设对称点为$M'(a,b)$，则$\begin{cases}2×\frac{a + 2}{2} - 3×\frac{b + 0}{2} + 1 = 0 \\ \frac{b - 0}{a - 2}×\frac{2}{3} = -1 \end{cases}$，得$M'(\frac{6}{13},\frac{30}{13})$.设直线$m$与直线$l$的交点为$N$，由$\begin{cases}3x - 2y - 6 = 0 \\ 2x - 3y + 1 = 0 \end{cases}$得$N(4,3)$.又$m'$经过点$N(4,3)$，所以直线$m'$的方程为$9x - 46y + 102 = 0$.
(3)方法一　在$l:2x - 3y + 1 = 0$上任取两点，如$P(1,1)$，$Q(4,3)$，则$P$，$Q$关于点$A(-1,-2)$的对称点$P'$，$Q'$均在直线$l'$上，易得$P'(-3,-5)$，$Q'(-6,-7)$，所以$l'$的方程为$2x - 3y - 9 = 0$. 方法二　因为$l// l'$，所以设$l'$的方程为$2x - 3y + C = 0(C≠1)$.因为点$A(-1,-2)$到两直线$l$，$l'$的距离相等，所以由点到直线的距离公式，得$\frac{|-2 + 6 + C|}{\sqrt{2² + 3²}} = \frac{|-2 + 6 + 1|}{\sqrt{2² + 3²}}$，解得$C = -9$，所以$l'$的方程为$2x - 3y - 9 = 0$.

1. 圆的定义和圆的方程
|定义|平面上到______的距离等于______的点的集合叫做圆|
|--|--|
|标准方程|$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(r＞0)$|圆心$C$______|半径为______|
|一般方程|$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$（$D^2 + E^2 - 4F＞0$）|圆心$C$______|半径$r =$______|

答案：

2. 点与圆的位置关系
平面上的一点$M(x_0,y_0)$与圆$C:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$之间存在着下列关系：
（1）$|MC|＞r\Leftrightarrow M$在______，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2＞r^2\Leftrightarrow M$在圆外；
（2）$|MC| = r\Leftrightarrow M$在______，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2\Leftrightarrow M$在圆上；
（3）$|MC|＜r\Leftrightarrow M$在______，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2＜r^2\Leftrightarrow M$在圆内.

答案：