《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练3 (1)把函数$f(x)=\ln|x - a|$的图象向左平移2个单位长度，所得函数在$(0，+\infty)$上单调递增，则$a$的最大值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

(2)已知函数$f(x)=|x - 2|+1，g(x)=kx$.若方程$f(x)=g(x)$有两个不相等的实数根，则实数$k$的取值范围是____________________.

答案： ($\frac{1}{2}$,1)

(3)设函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，满足$f(x)=2f(x - 2)$，且当$x\in(0，2]$时，$f(x)=x(2 - x)$，若对任意$x\in(-\infty，m]$，都有$f(x)\leqslant3$，则实数$m$的取值范围是____________________.

答案： $(-\infty,\frac{9}{2}]$ 解析　因为函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x - 2)，且当x∈(0,2]时，f(x)=x(2 - x)， 　所以当x∈(2,4]时，f(x)=2(x - 2)[2-(x - 2)]=2(x - 2)(4 - x). 　当x∈(4,6]时，f(x)=4[(x - 2)-2][4-(x - 2)]=4(x - 4)(6 - x),函数部分图象如图所示， 　由4(x - 4)(6 - x)=3，得4x²-40x +99=0，解得x=$\frac{9}{2}$或x=$\frac{11}{2}$, 　因为对任意x∈$(-\infty,m]$,都有f(x)≤3，所以由图可知m≤$\frac{9}{2}$

1. 函数的零点与方程的解
函数零点的概念
对于一般函数$y = f(x)$，我们把使______的实数$x$叫做函数$y = f(x)$的零点.
- 函数零点与方程实数解的关系
方程$f(x)=0$有实数解$\Leftrightarrow$函数$y = f(x)$有______$\Leftrightarrow$函数$y = f(x)$的图象与______有公共点.
- 函数零点存在定理
如果函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是一条连续不断的曲线，且有______________，那么，函数$y = f(x)$在区间______内至少有一个零点，即存在$c\in(a,b)$，使得______________，这个$c$也就是方程$f(x)=0$的解.

答案： ∮(x)=0
@@零点　x轴
@@∮(a)∮(b)＜0　(a，b)　∮(c)=0

2. 二分法
对于在区间$[a,b]$上图象连续不断且______________的函数$y = f(x)$，通过不断地把它的零点所在区间______________，使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

答案： f(a)∮(b)＜0　一分为二　零点

1. 判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
函数的零点就是函数的图象与$x$轴的交点. （ ）
连续函数$y = f(x)$在区间$(a,b)$内有零点，则$f(a)f(b)＜0$. （ ）
连续函数$y = f(x)$满足$f(a)f(b)＞0$，则$f(x)$在区间$(a,b)$上没有零点. （ ）
求函数零点的近似值都可以用二分法. （ ）

答案：
(1)×　
(2)×　　
(3)×　
(4)×

2. 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A. $y = 2x$
B. $y = (x - 2)^2$
C. $y = x+\frac{1}{x}-3$
D. $y = \ln x$

答案： B

3. （2023·太原模拟）函数$f(x)=\frac{3}{x}-\log_2x$的零点所在的区间是（ ）
A. $(0,1)$
B. $(1,2)$
C. $(2,3)$
D. $(3,4)$

答案： C

4. 函数$f(x)=\begin{cases}x - 1,x＞0,\\x^2 - 4,x＜0\end{cases}$的零点是______.

答案： 1,-2