《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例3（1）（2022·新高考全国I）若集合$M = \{x|\sqrt{x}\lt4\}$，$N = \{x|3x\geqslant1\}$，则$M\cap N$等于（ ）
A.$\{x|0\leqslant x\lt2\}$ B.$\{x|\frac{1}{3}\leqslant x\lt2\}$
C.$\{x|3\leqslant x\lt16\}$ D.$\{x|\frac{1}{3}\leqslant x\lt16\}$
（2）（多选）已知$M$，$N$均为实数集$\mathbf{R}$的子集，且$N\cap(\complement_{\mathbf{R}}M)=\varnothing$，则下列结论中正确的是（ ）
A.$M\cap(\complement_{\mathbf{R}}N)=\varnothing$
B.$M\cup(\complement_{\mathbf{R}}N)=\mathbf{R}$
C.$(\complement_{\mathbf{R}}M)\cup(\complement_{\mathbf{R}}N)=\complement_{\mathbf{R}}M$
D.$(\complement_{\mathbf{R}}M)\cap(\complement_{\mathbf{R}}N)=\complement_{\mathbf{R}}M$

答案：

(1)D ；
(2)BD　[
∵$N\cap(\complement_{\mathbf{R}}M)=\varnothing$，
∴$N\subseteq M$，如图，
若$N$是$M$的真子集，则$M\cap(\complement_{\mathbf{R}}N)\neq\varnothing$，故A错误；由$N\subseteq M$可得$M\cup(\complement_{\mathbf{R}}N)=\mathbf{R}$，故B正确；由$N\subseteq M$可得$\complement_{\mathbf{R}}N\supseteq\complement_{\mathbf{R}}M$，故C错误，D正确]

例4（1）（多选）已知$A = \{x|x^2 + x - 6 = 0\}$，$B = \{x|mx + 1 = 0\}$，且$A\cup B = A$，则$m$的值可能为（ ）
A.$-\frac{1}{3}$ B.$\frac{1}{3}$ C.0 D.$-\frac{1}{2}$
（2）（2024·本溪模拟）设集合$A = \{x|x\lt a^2\}$，$B = \{x|x\gt a\}$，若$A\cap(\complement_{\mathbf{R}}B)=A$，则实数$a$的取值范围为（ ）
A.$[0,1]$ B.$[0,1)$
C.$(0,1)$ D.$(-\infty,0]\cup[1,+\infty)$

答案：
(1)BCD　[由题意知$A = \{x|x^2 + x - 6 = 0\}$，由$x^2 + x - 6 = 0$，解得$x = 2$或$x = - 3$，所以$A = \{2,-3\}$，因为$A\cup B = A$，所以$B\subseteq A$，当$B = \varnothing$时，$m = 0$，满足题意；当$B\neq\varnothing$时，$B = \{-\frac{1}{m}\}$，$-\frac{1}{m}=2$或$-\frac{1}{m}=-3$，解得$m = -\frac{1}{2}$或$m = \frac{1}{3}$，综上，$m = 0$或$-\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$.]；
(2)A

跟踪训练3（1）（多选）已知集合$A = \{x|x^2 - 2x\gt0\}$，$B = \{x|1\lt x\lt3\}$，则（ ）
A.$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cup B = \{x|0\leqslant x\lt3\}$
B.$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cap B = \{x|1\lt x\lt2\}$
C.$A\cap B = \{x|2\lt x\lt3\}$
D.$A\cap B$是$\{x|2\lt x\lt5\}$的真子集
（2）已知集合$A$，$B$满足$A = \{x|x\gt1\}$，$B = \{x|x\lt a - 1\}$，若$A\cap B = \varnothing$，则实数$a$的取值范围为（ ）
A.$(-\infty,1]$ B.$(-\infty,2]$
C.$[1,+\infty)$ D.$[2,+\infty)$

答案：
(1)ACD　
(2)B

例5（多选）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设$G$是一个非空集合，“$\cdot$”是$G$上的一个代数运算，即对所有的$a$，$b\in G$，有$a\cdot b\in G$，如果$G$的运算还满足：①$\forall a$，$b$，$c\in G$，有$(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)$；②$\exists e\in G$，使得$\forall a\in G$，有$e\cdot a = a\cdot e = a$；③$\forall a\in G$，$\exists b\in G$，使$a\cdot b = b\cdot a = e$，则称$G$关于“$\cdot$”构成一个群.则下列说法正确的有（ ）
A.$G = \{-1,0,1\}$关于数的乘法构成群
B.$G = \{x|x = \frac{1}{k},k\in\mathbf{Z},k\neq0\}\cup\{x|x = m,m\in\mathbf{Z},m\neq0\}$关于数的乘法构成群
C.实数集关于数的加法构成群
D.$G = \{m + \sqrt{2}n|m,n\in\mathbf{Z}\}$关于数的加法构成群

答案： CD　[对于A，若$G = \{-1,0,1\}$，则对所有的$a$，$b\in G$，有$a\cdot b\in\{1,0,-1\}\subseteq G$，满足乘法结合律，即①成立，满足②的$e$为$1$，但当$a = 0$时，不存在$b\in G$，使得$a\cdot b = b\cdot a = e = 1$，即③不成立，故A错误；对于B，因为$a = \frac{1}{2}\in G$，且$b = 3\in G$，但$a\cdot b = \frac{1}{2}\times3 = \frac{3}{2}\notin G$，故B错误；对于C，若$G = \mathbf{R}$，则对所有的$a$，$b\in\mathbf{R}$，有$a + b\in\mathbf{R}$，满足加法结合律，即①成立，满足②的$e$为$0$，$\forall a\in\mathbf{R}$，$\exists b = - a\in\mathbf{R}$，使$a + b = b + a = 0$，即③成立，故C正确；对于D，若$G = \{m+\sqrt{2}n|m,n\in\mathbf{Z}\}$，则对所有的$a = m_1+\sqrt{2}n_1$，$b = m_2+\sqrt{2}n_2\in G$，有$a + b=(m_1 + m_2)+\sqrt{2}(n_1 + n_2)\in G$，$\forall a$，$b$，$c\in G$，$(a + b)+c = a+(b + c)$成立，即①成立，当$a = b = 0$时，$a+\sqrt{2}b = 0$，满足②的$e = 0$，即②成立，$\forall a = m+\sqrt{2}n\in G$，$\exists b=-m-\sqrt{2}n\in G$，使$a + b = b + a = 0$，即③成立，故D正确]；

跟踪训练4(多选)设A为非空实数集,若对任意x,y€A,都有x+y€A,x-y€A,且xy

A,则称A为封闭集.下列叙述中,正确的为   （   ）

A.集合A={-2,一1,0,1,2}为封闭集

B.集合A={n n=2k,k∈Z}为封闭集

C.封闭集一定是无限集

D.若A为封闭集,则一定有0∈A

答案：

跟踪训练4（多选）设$A$为非空实数集，若对任意$x$，$y\in A$，都有$x + y\in A$，$x - y\in A$，且$xy\in A$，则称$A$为封闭集.下列叙述中，正确的为（ ）
A.集合$A = \{-2,-1,0,1,2\}$为封闭集
B.集合$A = \{n|n = 2k,k\in\mathbf{Z}\}$为封闭集
C.封闭集一定是无限集
D.若$A$为封闭集，则一定有$0\in A$

答案： BD