《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线$C:y^{2}=2px(p＞0)$的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且$PQ\perp OP$.若$|FQ| = 6$，则C的准线方程为____________________.
(2)已知F是抛物线$y^{2}=16x$的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若$3\overrightarrow{FM}=2\overrightarrow{MN}$，则$|NF| =$______.

答案：

(1)$x=-\frac{3}{2}$ 解析　方法一　(解直角三角形法) 由题易得$|OF|=\frac{p}{2}$，$|PF|=p$，∠OPF = ∠PQF，所以$\tan\angle OPF=\tan\angle PQF$，所以$\frac{|OF|}{|PF|}=\frac{|PF|}{|FQ|}$，即$\frac{\frac{p}{2}}{p}=\frac{p}{6}$，解得$p = 3$（$p = 0$舍去），所以C的准线方程为$x=-\frac{3}{2}$. 方法二　(应用射影定理法) 由题易得$|OF|=\frac{p}{2}$，$|PF|=p$，$|PF|^{2}=|OF|\cdot|FQ|$，即$p^{2}=\frac{p}{2}\times6$，解得$p = 3$或$p = 0$（舍去），所以C的准线方程为$x=-\frac{3}{2}$.
(2)16 解析　易知焦点F的坐标为(4，0)，准线$l$的方程为$x = -4$. 如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作$MB\perp l$于点B，$NC\perp l$于点C. 因为$AF// MB// NC$，则$\frac{|MN|}{|NF|}=\frac{|BM|-|CN|}{|OF|}$. 由$3\overrightarrow{FM}=2\overrightarrow{MN}$，得$\frac{|MN|}{|NF|}=\frac{3}{5}$，又$|CN| = 4$，$|OF| = 4$，所以$\frac{|BM|-4}{4}=\frac{3}{5}$，$|BM|=\frac{32}{5}$，$|MF|=|BM|=\frac{32}{5}$，$\frac{|MF|}{|NF|}=\frac{2}{5}$，所以$|NF| = 16$.

1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或x），得到关于x（或y）的一元二次方程，则
直线与圆锥曲线相交⇔Δ______0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ______0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ______0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.

答案： ＞　=　＜

2.弦长公式
已知A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|=$\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$
=$\sqrt{1 + k^{2}}|x_{1}-x_{2}|$
=________________________，
或|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}}|y_{1}-y_{2}|$
=________________________.

答案： $\sqrt{1+k²}$$\sqrt{(x₁+x₂)²-4x₁x₂}$　$\sqrt{1+\frac{1}{k²}}$$\sqrt{(y₁+y₂)²-4y₁y₂}$

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
(1)过点$(1,\frac{1}{2})$的直线一定与椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$相交. （ ）
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切. （ ）
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点. （ ）
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦. （ ）

答案：
(1)√　
(2)×　
(3)√　
(4)√